Синтез оптимального управления для марковских динамичес-

Ких систем.

(1)     ;  ;  ; где -

 

   - управление;  - шум динамической системы.

Управление должно менять  - траекторию, и изменять ее так, чтобы минимизировать средний критерий качества,

причем управляется динамическая система не по всем коор-

динатам.

    - управляемый случайный процесс.

Динамическая система, сама как таковая, не наблюдается, а

наблюдается j( )(нелинейно преобразованная фазовая пере-

менная) с шумом. В этом случае говорят, что динамическая система ненаблюдаема напрямую. Для того, чтобы сделать ее

наблюдаемой необходимо использовать теорию нелинейной

фильтрации (см. предыдущие лекции).

В этом случае получаем оценку нелинейной динамической

системы в условиях линеаризации по Тейлору :

 

(2)   

  

Синтез оптимального управления используя (2) проведем применив квадратичный критерий качества, причем управле-

ние динамической системой будем вести к некоторому этало-

ну, т.е. задано :  , i=1,2...n

 

           Критерий оптимизации

 

(3)  ;

                 где || - норма, .

Риск складывается из двух слагаемых :

 

1-е слагаемое : Это есть квадрат отклонения траектории от

           эталона. Оно должно быть минимизировано с

           учетом формулы (2).

2-е слагаемое : Это есть сумма с квадратом самого управ-

           ления (некоторая сила) должны быть мини-

           мизированны (так должно быть всегда)

 

Минимизация (3) - это достаточно сложная задача вариаци-

онного исчисления (просто взять здесь производную по ‘u’

не удается).

 

 

Для минимизации (3) используем уравнение Бэлмана :

 

(4)

       

 

В формуле (4) минимизируя шаг за шагом получим :

 

(5)   ; где  - матрица

 

Выводы : (к формуле (5)) 

     Оптимальное управление (5) реализуется с ис-

     пользованием линейной оценки динамической сис-

     темы, и это управление вставляется в формулу :

            

Если упростить критерий и привести его к виду (3’):

(3 ’)      

                              

то минимизация дает оптимальное управление эталона:

(6)               

Оптимальное управление пропорционально разности меж-

ду экстраполированной оценкой и эталоном, т.о. полу-

чим :

(7)           

Оценка (7) подставляется в (6). Со временем, при ми-

нимизации в этом случае сама оценка  устремляется к

эталону.

 

Пример синтеза динамической системы управления частотой

генератора

 

             Общая постановка :

 

Пусть имеется некоторая эталонная траектория

(1)         , где  - шум

Если эталон защищен, то его фильтруют.

Имеется управляемая динамическая система :

        

Управляемая динамическая система - фаза генератора или

траектория, которая должна подстроиться под эталон.  

 

 

(2)    ; шума  часто нет, поэтому

                         им пренебрегают. Пусть

(3)     

Рассмотрим более сложную модель фазы рассматриваемого ге-

нератора.

 

 

(4)    

 Считаем, что в (1),(3) уход фазы очень медленный,т.е.

 . Используя нелинейную функцию оценка эталона:

 

(4 ’)   

  В (4) решение уравнения относительно  имеет вид :

(5)     ;     с<1.

  Выше было доказано, используя уравнение Бэлмана,

  что :

(6)               

 

Структурная схема реализации оптимального управления под-

стройки частоты к эталону

 

        (4’)                        (5’)

  шум                                          

эталонный  нелиненый                               Решающее      Подстраи-

генератор   фильтр                     устройство  ваемый ге- вых    

                     Т Т            нератор          

 

                  a    c            

                                         устройство

                +    -         управления 

                       

                         

                                    

 

На выходе - частота подстраиваемого генератора.

Подстраиваемый генератор имеет следующий вид:

             

 - изменяется по закону (4), управляющая функция воз-

действует /вырабатывающаяся на прошлом шаге (i-1)/ она

должна подстраивать генератор так, чтобы она стремилась

к эталону.

Для этого : имеется устройство управления, которое воз-

действует на контур подстраиваемого генератора так, чтобы

(путем воздействия на варикап) ; a = с, тогда .

Управляемая система с обратной связью: если есть откло-

нение фазы на , (т.е. отклонение частоты) ( ),

тогда решающее усторойство дает оценку . Это приведет к

тому, что  отклонится, напряжение подается на устрой-

ство управления, которое ликвидирует приращение. (правое

кольцо называется - кольцо ФАПЧ).

 

 

           Глава 6