Система уравнений для E -волн

Разместим прямоугольную систему координат так, как показано на рис.3.1. В этом случае верхняя и нижняя стенки волновода находятся в плоскостях y=0 и y=b, а боковые – в плоскостях x=0 и x=a. Уравнение 

 (3.1)

в декартовой системе координат имеет следующий вид:

 (3.2).                                              

Рисунок 2 - Расположение волновода.

При интегрировании уравнения (3.2) воспользуемся методом Фурье. Представим функцию Ψ(x,y) в виде произведения двух функций X(x) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной пространственной переменой:

Ψ(x,y) = X(x)Y(y) (4.3).

Подставим (3.2) в (3.3) и выполним частное дифференцирование

 (3.4).

Перейдя в (3.4) от частных дифференциалов к обыкновенным и поделив его почленно на произведение X(x)Y(y), имеем:

 (3.5).

Приравняем первый член уравнения (4.5) постоянному коэффициенту , а второй – постоянному коэффициенту , физический смысл которых будет выяснен позднее. В этом случае уравнение (3.5) может быть представлено в виде системы из трех более простых уравнений:

 (3.6),

 (3.7),

(3.8).

Уравнения (3.6) и (3.7) являются обыкновенными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, решениями которых являются комбинации показательных либо тригонометрических функций и постоянных коэффициентов.

Решение уравнения (3.6) для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид:

 (3.9),

Уравнение (3.9) представляет собой суперпозицию бегущих волн. В данном случае следует выбрать решения, представляющие собой стоячие волны, а решения в виде бегущих волн отбросить как физически не реализуемые, так как распространению бегущих волн в направлениях осей 0x и 0y препятствуют металлические стенки волновода.

В выражение (3.9) входят три постоянные коэффициента C, D и k_x, для определения которых необходимо воспользоваться граничным условием

.

Граничное условие  для выбранного расположения декартовой системы координат относительно стенок волновода (см. рисунок 3.1) трансформируется в следующие условия для составляющей  при x=0, x=a, y=0 и y=b. Применительно к уравнению (3.9) это означает, что при x=0 и при x=a правая часть уравнения должна обращаться в нуль.

Первое условие может быть выполнено только в том случае, если C = 0, а второе – если , где m – любое целое положительное число; a – поперечный размер широкой стенки волновода. Таким образом, используя граничные условия, мы определили значения постоянных коэффициентов C и , и уравнение (3.9) принимает следующий вид:

(3.10).

Проведя аналогичные операции с уравнением (4.7), получаем

(3.11),

где B – постоянный коэффициент,  – постоянный коэффициент, n – любое целое положительное число, b – поперечный размер узкой стенки волновода.

Подставив (3.10) и (3.11) в (3.3), имеем

(3.12).

Численные значения коэффициентов B и D зависят от параметров источника, возбуждающего электромагнитную волну в линии передачи. Подставив (3.12) в (2.18) и обозначив произведение коэффициентов B, D и A как , получим окончательное решение волнового уравнения для продольной составляющей  вектора напряженности электрического поля Е волн в прямоугольном волноводе

(3.13)

Чтобы воспользоваться уравнениями связи для определения поперечных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей Е-волн в прямоугольном волноводе, необходимо найти частные производные  и . Вычислим их, проведя частное дифференцирование выражения (3.13) по переменным x и y:

(3.14),

(3.15).

Анализ уравнения (3.13) и его частных производных показывает, что для Е волн целые числа m и n, входящие в выражения для коэффициентов и , не должны равняться нулю, так как в противном случае все составляющие векторов  и  этих волн будут равняться нулю. Подставляя значения вычисленных частных производных в уравненияx связи, получим систему уравнений для составляющих векторов  и  поперечно-магнитных волн (Е волн) в прямоугольном волноводе:

(3.16),

(3.17),

, (3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21).

Уравнения (3.16)-(3.21) могут быть записаны в более компактном виде:

 (3.22),

 (3.23),

(3.24),

(3.25)

(3.26),

(3.27),

где , , , , – амплитуды соответствующих составляющих векторов  и , а – максимальные значения этих амплитуд.

Следует отметить, что в случае Е волн, являющихся неоднородными плоскими волнами, амплитуды составляющих векторов  и  изменяются при перемещении вдоль фазового фронта этих волн (в отличие от однородных плоских волн, распространяющихся в свободном пространстве).