Система уравнений Максвелла. Направляемые электромагнитные волны

Уравнения Максвелла являются основными уравнениями классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами.

Система уравнений Максвелла в интегральной форме имеет вид:

 (2.1),

 (2.2),

(2.3),

 (2.4);

Физический смысл уравнения (2.1) заключается в том, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

Уравнение (2.2) - электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Уравнение (2.3) - теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов. ρ – объемная плотность распределения заряда внутри замкнутой поверхности. Физический смысл этого уравнения заключается в том, что силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах (на положительных и отрицательных соответственно).

Уравнение (2.4) - теорема Гаусса для магнитного поля : поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю. Это говорит о том, что магнитное поле является вихревым и линии индукции всегда замкнуты.

    Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

 (2.5),

 (2.6),

 (2.7),

 (2.8).

    Уравнения связи имеют вид:

 (2.9),

 (2.10),

 (2.11),

где  и  - соответственно электрические и магнитные постоянные;

 и  - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости;

 - удельная проводимость вещества;

Распределение полей в волноводе может быть найдено путем решения системы уравнений Максвелла при заданных граничных условиях на стенках волновода.

Предположим, что прямоугольный волновод заполнен воздухом , а проводимость стенок будем считать бесконечно большой. Тогда в рассматриваемой области будут отсутствовать сторонние токи и заряды.  

Требуется определить электромагнитное поле, которое может существовать в данной линии передачи при условии, что это поле гармоническое во времени, а частота колебаний равна ω (электромагнитное поле, в котором токи, заряды, потенциалы и составляющие векторов меняются по гармоническому закону с одной и той же заданной частотой, называется гармоническим электромагнитным полем).

Искомое поле должно удовлетворять однородным уравнениям Максвелла в комплексной форме:

 (2.12),    

и граничному условию для касательной составляющей вектора напряженности электрического поля ( ) на поверхностях идеальных проводников:

 (2.13).

Уравнения (2.12) трансформируются в однородные волновые уравнения для векторов  и : 

 (2.14),

 (2.15),

где волновое число для плоской однородной волны, распространяющейся в безграничной среде с параметрами диэлектрика, заполняющего (окружающего) линию передачи. При решении задачи определения структуры электромагнитных полей Е и Н волн в линиях передачи используется следующий прием:

1) все поперечные составляющие векторов поля выражают с помощью так называемых уравнений связи через имеющиеся в данной волне продольные составляющие векторов напряженности электрического или магнитного поля (  для Е волн и  для Н волн).

2) решают волновые уравнения только для этих продольных составляющих;

3) вычисляют с помощью уравнений связи поперечные составляющие векторов  и в линии передачи. Таким образом, решение задачи сводится к составлению уравнений связи и решению одномерных однородных волновых уравнений для продольных составляющих векторов  и .

Для Е волн предстоит решить уравнение:

 (2.16),

а для Н волн – уравнение:                               

 (2.17).

              Решениями уравнений (3.16) и (3.17) являются следующие уравнения:

 (2.18),

 (2.19).

Уравнения связи получаются в результате преобразования уравнений Максвелла (3.12), раскрытых для соответствующей системы координат. Для декартовой (прямоугольной) системы координат (x,y,z) уравнения связи для Е и Н волн выглядят следующим образом:

Е-волны:

(2.20),

Н-волны:

 (2.21),

где K –продольное волновое число для E и H-волн в волноводе,  поперечное волновое число.

(2.22),

(2.23).

Для этих волн поперечное волновое число  ≠ 0, а продольное волновое число K отличается от k. Рассмотрим, как будет изменяться величина K в зависимости от частоты колебаний ω. В реальных системах частота ω есть частота источника, возбуждающего поле, т.е. частота генератора. Положим в общем виде:

K = β – jα (2.24),

 jK = α + jβ (2.25).

В зависимости от величины ω могут иметь место три случая (напомним, что  ).

1. Волновое число k >  (частота ω достаточно высокая). При этом продольное волновое число K является чисто вещественной величиной (2.23). Следовательно, в данном случае (2.24) K = β, α = 0. Волна распространяется вдоль линии без затухания и процесс ее распространения определяется множителем , где β играет роль коэффициента распространения этой волны в волноводе: 

 (2.26).

2.Волновое число k <  (частота ω низкая). При этом продольное волновое число K является чисто мнимой величиной (2.23) и, в соответствии с (2.24), K = –jα, β = 0. Это означает, что в данном случае в линии передачи существует не электромагнитная волна, а не распространяющееся электромагнитное поле, «привязанное» к источнику возбуждения и затухающее по мере удаления от него по закону , где α – коэффициент затухания, равный:

 (2.27). 

3. Волновое число k = . При этом продольное волновое число K = 0. Формально в этом случае в линии передачи нет ни волны, ни «привязанного» поля. Такой режим работы линии передачи называют критическим, а частоту, при которой наступает этот режим, также называют критической и обозначают ω_кр. Она определяет границу перехода от режима, при котором в линии передачи могут распространяться электромагнитные волны, к режиму, при котором распространение электромагнитных волн вдоль линии передачи невозможно. Из выражения (2.23), полагая K = 0, находим ω_кр:

 (2.28),

 (2.29),

где V – фазовая скорость плоской электромагнитной волны, распространяющейся в свободном пространстве. Из формул (2.28) и (2.29) видно, что критическая частота зависит не только от поперечного волнового числа , но и от параметров диэлектрика, заполняющего линию передачи. Такая зависимость иногда оказывается неудобной, поэтому помимо ω_кр и f_кр для характеристики критического режима пользуются параметром «критическая длина волны» – λ_кр, под которой понимают длину волны плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве, частота возбуждения которой равна f_кр:

 (2.30).

Таким образом Е и Н волны могут распространяться вдоль линии передачи не при любых частотах, а лишь при выполнении условия:

f > f_кр или λ < λ_кр (2.31),

где f – частота возбуждающего линию передачи генератора, а λ – длина волны в свободном пространстве, соответствующая этой частоте.

Найдем фазовую и групповую скорости Е и Н волн, распространяющихся вдоль линии передачи – V_ф и V_гр. Для этого запишем мгновенное значение функции для падающей волны:

(2.32).

Приравняв аргумент косинуса этого выражения постоянной величине, получим:

 (2.33).

Фазовая скорость будет равна производной по времени от полученной величины z

 (2.34),

где β определяется выражением (2.26).

Продолжая преобразования, найдем:

 (2.35).

Анализ выражения (2.35) показывает, что, во-первых, V_ф зависит от частоты генератора и, следовательно, линии передачи с Е и Н волнами являются диспергирующими системами. Во-вторых, V_ф оказывается больше, чем фазовая скорость плоской однородной волны в свободном пространстве V. Этот результат, на первый взгляд, может показаться противоречащим основному постулату теории относительности, согласно которому передача сигналов со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, невозможна. На самом деле противоречия, конечно, нет, так как скорость передачи сигнала электромагнитной волной, равная , совпадает с фазовой скоростью этой волны и скоростью переноса энергии только для плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве. Для Е и Н волн скорость передачи сигнала, которую мы назовем групповой скоростью и обозначим V_гр, отличается от V_ф и равна:               

(2.36).

V_гр оказывается меньше V, при чем всегда выполняется условие:

 (2.37).

Найдем длину волны Е и Н волн, распространяющихся вдоль линии передачи.

Фазовая скорость V_ф определяет длину волны в линии передачи, которую мы обозначим Λ и будем понимать под ней расстояние, которое Е или Н волна проходит вдоль линии за отрезок времени, равный периоду колебаний T:

(2.38).

Подставляя в (3.38) значение V_ф из (2.35), и учитывая, что T = λ/V, получаем:

 (2.39),

где λ – длина волны в свободном пространстве, соответствующая частоте генератора, возбуждающего Е и Н волны в линии передачи. Как и следовало ожидать, при одной и той же частоте возбуждения длина волны в линии передачи Λ оказывается больше длины волны в свободном пространстве λ. Из формул (2.39) и (2.35) следует, что с увеличением частоты возбуждающего генератора длины волн электрических и магнитных волн в линии передачи и их фазовые скорости приближаются к длине волны и фазовой скорости плоской волны в свободном пространстве. Этот результат можно объяснить тем, что, по мере увеличения частоты, относительные (по отношению к λ) размеры поперечного сечения линии передачи возрастают и условия распространения волн вдоль линии передачи все больше приближаются к условиям, существующим при распространении волны в свободном пространстве. Наоборот, при стремлении f к f_кр значения Λ и V_ф все больше превосходят λ и V, стремясь в пределе (при f = f_кр) к бесконечности.

Установив общие свойства направляемых волн, перейдем к рассмотрению структуры электромагнитного поля этих волн для конкретных направляющих систем.