Разработка факультативного занятия на тему «Способ рационализации при решении иррациональных уравнений»

Ход занятия

Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей.

Способ решения иррациональных уравнений, основанный на применении рационализирующих подстановок, назовем способом рационализации.

Применяя рационализирующую подстановку, необходимо следить за тем, чтобы область определения нового рационального уравнения, получаемого в результате этой подстановки, соответствовала области определения данного иррационального уравнения. Только при этом условии рационализирующая подстановка приведет рассматриваемое иррациональное уравнение к рациональному уравнению, которое всюду в области его определения эквивалентно данному.

Рассмотрим рационализацию некоторых выражений, содержащих радикалы, с помощью рационализирующих подстановок и применение этих подстановок при решении иррациональных уравнений.

1. Рационализация выражения

Выражение вида

,                                             (1)

где  обозначает рациональную функцию,  и  – постоянные, а  – любое целое положительное число, рационализируется подстановкой

.                                                (2)

Действительно, возводя обе части равенства (2) в -ую степень, получим , откуда , причем функция  рациональна. Следовательно,

.

Поскольку рациональная функция от рациональной функции представляет собой также рациональную функцию, то выражение, стоящее в правой части последнего равенства, является рациональным.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ рассматриваемого уравнения . Рационализирующей подстановкой  это уравнение приводится к эквивалентной ему смешанной системе

или (сокращая дробь на ) системе

Решением последней будет . Воспользовавшись подстановкой, получим .

Ответ: .

2. Рациональность дробно-линейных иррациональностей

Аналогично предыдущему доказывается, что функция вида

,                                         (3)

где , ,  и  – некоторые постоянные, а  – любое целое положительное число (дробно-линейная иррациональность), может быть при условии  приведена к рациональному виду подстановкой

                                               (4)

Иррациональная функция

                                (5)

рационализируется при помощи подстановки

                                               (6)

где  – наименьшее общее кратное показателей радикалов , , …

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Будем искать корни данного уравнения в области  (очевидно, что числа  и  не являются его корнями). Разделим обе части уравнения на :

.

Полученное уравнение в рассматриваемой области с помощью рационализирующей подстановки

сводится к смешанной системе

эквивалентной ему в этой области. Определив решения этой системы  и  и воспользовавшись подстановкой, находим корни исходного уравнения.

Ответ: .

3. Рационализация биноминальных выражений

Можно доказать, что выражение

,                                       (7)

где  и  – постоянные, а показатели степеней ,  – некоторые рациональные числа, допускает рационализирующие подстановки только в трех случаях, когда оказывается целым одно из чисел ,  или .

В этих случаях возможны следующие подстановки:

Если  – целое, то , где  – наименьшее общее кратное знаменателей чисел  и .

Если  – целое, то , где  – знаменатель числа .

Если  – целое, то , где  – знаменатель числа .

Существование указанных трех рационализирующих подстановок доказывает возможность приведения к рациональному виду уравнений  в первом случае и  во втором и третьем случаях.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Так как  – не является корнем уравнения, разделим обе его части на . Выделяется биномиальное выражение:

.

Имеет место третий случай рационализации (  и  – целое число). Следовательно, будем применять подстановку . Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим , так что . Теперь с помощью подстановки  и найденного значения  получаем

и исходное иррациональное уравнение приводится к рациональному , или . Определив корни этого уравнения ,  и воспользовавшись подстановкой, находим

Ответ:

4. Рационализация квадратичныхиррациональностейпосредством подстановок Эйлера

Квадратичной иррациональностью назовем функцию вида

,                                     (9)

где  и  – некоторые постоянные. Покажем, что это выражение всегда рационализируется одной из так называемых подстановок Эйлера. При этом мы, конечно, будем считать, что квадратный трёхчлен  неотрицателен и не имеет равных корней (в противном случае корень можно заменить рациональным выражением).

а) Сначала рассмотрим случай, когда дискриминант . В этом случае знак квадратного трёхчлена  совпадает со знаком , и поскольку этот трёхчлен положителен (в силу условия  равенство трёхчлена нулю невозможно), то .

Таким образом, мы можем сделать следующую подстановку:

(или )                               (10)

Подстановку (10) иногда называют первой подстановкой Эйлера. Докажем, что эта подстановка рационализирует функцию (9) в рассматриваемом случае. Возводя в квадрат обе части равенства

(заметим, что ), получим , так что

,

где функции  и рациональные. Таким образом,

.

В правой части полученного равенства стоит рациональная функция.

б)  Рассмотрим теперь случай, когда дискриминант , то есть квадратный трехчлен  имеет (различные) действительные корни  и . Следовательно,

.

Аналогично предыдущему доказывается, что в этом случае функция (9) рационализируется посредством подстановки:

,                              (11)

называемой часто второй подстановкой Эйлера.

Замечание 1. Рационализирующая подстановка (11) справедлива при условии . Следовательно, применяя эту подстановку при решении иррационального уравнения, необходимо проверить, не является ли значение  корнем данного уравнения (иначе возможна потеря этого корня).

Замечание 2. Если , то в этом случае можно положить

(или )                                   (12)

Ответ: , .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. В данном уравнении дискриминант квадратного трехчлена положителен, корни его  и . Найдем другие корни подстановкой

.

Применяя эту подстановку, необходимо проверить, не является ли значение  корнем данного уравнения. Итак,  – корень данного уравнения.

Возводя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Теперь подставим это значение  в исходное уравнение и последовательно получаем:

и исходное уравнение сводится к уравнению , или . Это уравнение имеет единственный действительный корень , тогда . Итак, исходное уравнение имеет два корня:  и .

Ответ: , .

5. Рационализация с помощью тригонометрических подстановок

Иногда подходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной. [17]

1). Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену ,  или , .

2). Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену tg t,  или  ctg t, .

3). Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену ,  или , .

Проиллюстрируем использование этих замен на следующих примерах.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. В данное уравнение входит выражение , поэтому в соответствии с пунктом 2, сделаем замену

tg t, где .

Тогда выражение , входящее в уравнение, можно преобразовать

и исходное уравнение можно записать в виде

.

Поскольку  не равен нулю при рассматриваемых значениях t, то полученное уравнение равносильно уравнению

.

Решая это уравнение, находим два возможных значения

 и .

Из всех корней этих уравнений промежутку  принадлежит единственное значение .

Поэтому соответствующее значение x равно

.

Ответ. .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. В этом уравнении x по ОДЗ может принимать только значения из отрезка , что приводит к мысли совершить замену

, где .

В результате такой замены приходим к уравнению

.

Учтем, что

 и ,

получим уравнение

.

В силу ограничения  выполнено , поэтому приходим к уравнению

,

которое, пользуясь формулой приведения, сведем к стандартному виду

.

Решая последнее уравнение, находим

 или , .

Условию  удовлетворяют лишь три значения

, , .

Поэтому

, , .

Ответ. , , .

В заключение нужно отметить, что способ рационализации успешно может быть применён также для рационализации иррациональных неравенств, для вычисления и преобразования иррациональных выражений и так далее.