Решение иррациональных уравнений смешанного типа

Для каждого вида уравнений и неравенств, в том числе и иррациональных, можно составить уравнение или неравенство «с модулем» и «с параметром».

Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля

Простейшие уравнения с модулем имеют вид:  и ; будем их решать на основании определения модуля сведением к совокупности систем.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. ,

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Будем решать каждую из систем по отдельности.

Решение первой системы:

Последняя система не имеет корней, так как дискриминант уравнения  меньше нуля.

Решение второй системы:

Ответ: .

 Пример 2. Решить уравнение

Решение. ,

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Будем решать каждую из систем по отдельности.

Решение первой системы:

Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств  и  пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет.

Решение второй системы:

Ответ: .

Иррациональные уравнения, содержащие параметр

Уравнение вида  называется иррациональным с параметром относительно неизвестного , если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно .

Как и раньше, будем находить только действительные корни.

Трудно указать какой-нибудь общий и вместе с тем достаточно простой способ решения иррациональных уравнений, содержащих параметр.

Проиллюстрируем некоторые способы решения на примерах.

Пример 3. Для каждого действительного значения параметра  решить уравнение

.

Решение. Исходное уравнение равносильно смешанной системе

При  эта система решений не имеет.

При  получим решение

Теперь необходимо найти те значения , при которых эта система имеет решение:

Ответ: при  – корней нет;

        при .

Для решения иррационального уравнения иногда удобно ввести вспомогательную неизвестную величину. При этом получаем квадратное уравнение с параметром, которое нужно решить в пределах некоторого ограниченного множества значений нового неизвестного.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Область определения данного уравнения:

Так как  и , то и .

Сделаем замену , тогда  и исходное уравнение можно записать в виде системы

которая равносильна системе

Корни уравнения  должны удовлетворять первому условию последней системы, то есть необходимо решить систему

Итак, при  исходное уравнение имеет единственный корень . Отсюда при  имеем

,

Ответ: при ;

        при  – корней нет.

Иррациональные показательные уравнения

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так:

,

Приведем все степени к одному основанию 7:

.

Сделаем замену , , тогда получаем уравнение , корнями которого являются

Сделаем обратную замену:

или  – уравнение не имеет решений.

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Приведем все степени к одному основанию:

.

откуда получаем уравнение  которое равносильно уравнению:

Ответ:

Иррациональные логарифмические уравнения

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем данное уравнение:

.

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Уравнение этой системы равносильно совокупности уравнений:

Последнее уравнение этой совокупности равносильно уравнению:

Из неравенства системы  следует, что . Следовательно,  – посторонний корень.

Ответ: ,

 

 

Сколько корней имеет уравнение ?

 

Сколько корней имеет уравнение ?

Приложение Б