Диагностирующая контрольная работа №1

1. Сколько корней имеет уравнение ?
А. ни одного	Б. один	В. два	Г. четыре
2. Решите уравнение , укажите корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).
А.	Б. 1	В. 2	Г. корней нет
3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения  (или сумма корней, если их несколько).
А.	Б.	В.	Г.
4. Решите уравнение , укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).
5. Решите уравнение , укажите корень уравнения.
6. Решите уравнение , укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший)
7. Решите уравнение , укажите корень уравнения.
8. Решите уравнение .

Диагностирующая контрольная работа № 2

1. Сколько корней имеет уравнение ?
А. четыре	Б. два	В. один	Г. ни одного
2. Решите уравнение , укажите корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).
А. 4	Б. 1	В.	Г. корней нет
3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения  (или сумма корней, если их несколько).
А.	Б.	В.	Г.
4. Решите уравнение , укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).
5. Решите уравнение , укажите корень уравнения.
6. Решите уравнение , укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший).
7. Решите уравнение , укажите корень уравнения.
8. Решите уравнение .

Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №1

1. А.

2. А.

3. Б.

4. Уединив первый радикал, получаем уравнение , равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение , . Последнее уравнение равносильно системе  Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни  и . Первый корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ: .

5. Введем новую переменную , тогда , причем . В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного , откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень . Как показывает проверка,  удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: .

6. Введем новую переменную . В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид  Решая первое уравнение этой системы, получим корни  и . Второй корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение , получаем корни  и . Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольший из корней. Ответ: .

7. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:  и  Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы:  Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств  и  пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет. Решение второй системы:  Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни  и . Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ: .

8. Введем новые переменные  и . Тогда исходное уравнение принимает вид: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства ,  в третью степень и заметим, что . Итак, надо решить систему уравнений  она имеет два (действительных) решения: , ; , . Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным  и систему  первая из них дает , вторая дает . Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: , .

Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №2

1. Б.

2. В.

3. Г.

4. Уединив первый радикал, получаем уравнение , равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение , . Последнее уравнение равносильно системе  Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни  и . Оба корня удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются корнями исходного уравнения. В ответе нужно указать произведение корней. Ответ: 48.

5. Введем новую переменную , тогда , причем . В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного , откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень . Как показывает проверка,  удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: .

6. Введем новую переменную . В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид  Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни  и . Первый корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение , получаем корни  и . Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольший из корней. Ответ: .

7. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:  и  Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы:  Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни  и . Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Решение второй системы:  Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни  и . Оба корня не удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются посторонними корнями исходного уравнения. Ответ: .

8. Введем новые переменные  и . Тогда исходное уравнение принимает вид: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства ,  в четвертую степень и заметим, что . Итак, надо решить систему уравнений  она имеет два (действительных) решения: , ; , . Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным  и систему  первая из них дает , вторая дает . Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: , .

Приложение В