Графические методы расчета

При использовании этих методов задача решается путем графических построений на плоскости. При этом характеристики всех ветвей цепи следует записать в функции одного общего аргумента. Благодаря этому система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным. Формально при расчете различают цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями.

а) Цепи с последовательным соединением резистивных элементов.

При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координат строится результирующая зависимость . Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой опускается ортогональ на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей определяются напряжения на отдельных резистивных элементах.

Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 2,б, соответствующие цепи на рис. 2,а.

Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом –методом пересечений.В этом случае один из нелинейных резисторов, например, с ВАХ на рис.2,а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения точка а (см. рис. 3) пересечения кривых и определяет режим работы цепи. Кривая строится путем вычитания абсцисс ВАХ из ЭДС Е для различных значений тока.

Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам.

б) Цепи с параллельным соединением резистивных элементов.

При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координат строится результирующая зависимость . Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ ), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой опускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостей определяются токи в ветвях с отдельными резистивными элементами.

Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 4,б, соответствующие цепи на рис. 4,а.

в) Цепи с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов.

1. Расчет таких цепей производится в следующей последовательности:

Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано в пункте б).

2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов (см. пункт а), на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях.

Метод двух узлов

Для цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым, можно применять метод двух узлов. При полностью графическом способе реализации метода он заключается в следующем:

Строятся графики зависимостей токов во всех i-х ветвях в функции общей величины – напряжения между узлами m и n, для чего каждая из исходных кривых смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС в i-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке.

Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа . Соответствующие данной точке токи являются решением задачи.

Метод двух узлов может быть реализован и в другом варианте, отличающемся от изложенного выше меньшим числом графических построений.

В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 5. Для нее выражаем напряжения на резистивных элементах в функции :

;

(1)

;

(2)

.

(3)

Далее задаемся током, протекающим через один из резисторов, например во второй ветви , и рассчитываем , а затем по с использованием (1) и (3) находим и и по зависимостям и - соответствующие им токи и и т.д. Результаты вычислений сводим в табл. 1, в последней колонке которой определяем сумму токов

.

Таблица 1. Таблица результатов расчета методом двух узлов

Алгебраическая сумма токов в соответствии с первым законом Кирхгофа должна равнять нулю, поэтому получающаяся в последней колонке табл. 1 величина указывает, каким значением следует задаваться на следующем шаге.

В осях строим кривую зависимости и по точке ее пересечения с осью напряжений определяем напряжение между точками m и n. Для найденного значения по (1)…(3) рассчитываем напряжения на резисторах, после чего по заданным зависимостям определяем токи в ветвях схемы.

Основные понятия и законы магнитной цепи

Электромагнитное поле, которое лежит в основе всех многообразных яв­лений и про­цессов, исследуемых в электротехнике, имеет две равнозначные стороны – электрическую и магнитную. Как известно, в электрической цепи под воздействием источников энергии воз­никают электрические токи, которые про­текают по электрическим проводам. Подобно элек­трическим цепям существуют также магнитные цепи, состоящие из магнитных проводов или кратко магнито­проводов, в которых под воздействием магнитодвижущих сил (МДС) возни­кают и замыкаются магнитные потоки Ф. Формальную схожесть или аналогию между элек­трическими и магнитными цепями в дальнейшем будем именовать принципом двойственно­сти. Следует помнить, что при формальной схожести электрические и магнитные явления физически различны.

Магнитные цепи применяются в электрических машинах, трансформато­рах, электро­магнитных аппаратах, реле, приборах и т.д. Их назначением явля­ется создание заданной ве­личины и формы магнитного потока Ф(t) и проведе­ние его по заданному пути.

Как известно, магнитное поле характеризуется векторными величинами и , ме­жду которыми существует связь , где - вектор индук­ции (или плотности) маг­нитного поля [Тл], - вектор напряженности магнит­ного поля [А/м], который создается электриче­ским током и является первопри­чиной магнитного поля, [Гн/м]- магнитная проницае­мость пустоты, - относительная магнитная проницаемость, характеризую­щая спо­собность материала к намагничиванию.

Все материалы по способности их к намагничиванию условно разделяют на две группы: ферромагнитные и неферромагнитные. Для ферромагнитных ма­териалов . К ним относятся железо (Fe), никель (Ni), кобальт (Co) и их сплавы. Ферромагнитные мате­риалы способны к намагничиванию и создают малое магнитное сопротивление для магнит­ного потока, поэтому применяются в технике для изготовления магнитопроводов. Для не­ферромагнитных материа­лов , они создают большое сопротивление магнитному потоку и в магнит­ной цепи выполняют роль магнитных изоляторов.

Следует отметить, что если в электрической цепи соотношение между удельной про­водимостью металла (провода) и диэлектрика (изоляция) состав­ляет , то для маг­нитной цепи это соотношение составляет всего около . Это означает, что изоляция в маг­нитных цепях очень несовершенна, что в таких цепях существенная часть магнитного потока рассеивается, т.е. замыка­ется через участки с несовершенной магнитной изоляцией.

Зависимость между векторами и для ферромагнитных материалов не имеет точ­ного аналитического выражения, на графической диаграмме эта за­висимостьB=f(H), имеет форму петли и называется петлей гистерезиса (рис. 216).

При периодическом перемагничивании материала с увеличением ампли­туды индук­ции B_m площадь петли гистерезиса увеличивается, а ее вершина все больше смещается в об­ласть насыщения материала. Кривая, проходящая через вершины симметричных петель гис­терезиса, называется основной кривой на­магничивания B=f(H)для данного материала. Све­дения об основных кривых намагничивания B=f(H)для ферромагнитных материалов, кото­рые применяются в технике для изготовления магнитопроводов, приводятся в справочной литера­туре в виде таблиц или графических диаграмм и используются в инженерной практике для расчета магнитных цепей.

Пусть требуется выполнить расчет магнитной цепи электромагнитного реле, состоя­щей из катушки с w витками, ярма (неподвижная часть магнитопро­вода), якоря (подвижная часть магнитопровода) и воздушного зазора между яр­мом и якорем (рис. 217а). Геометрические размеры магнитной цепи заданы.

В основе расчета магнитных цепей лежит известный из физики закон полного тока:

.

При применении закона полного тока к магнитной цепи ее разбивают на отдельные однородные участки, для которых H=const, а контур интегрирования выбирают вдоль маг­нитных линий. При выполнении этих условий интеграл по замкнутому контуру заменяется суммой простых произведений , а . Для рассматриваемого примера получим:

Здесь произведение называется магнитодвижущей силой (МДС) или намагни­чивающей силой (НС), является источником магнитного потокаФ.

Слагаемые типа H_k·l_k называются магнитным напряжением: [A], а получен­ное выше уравнение представляет собой второй закон Кирхгофа для магнитной цепи:

или .

Из курса физики известно, что магнитные линии поля непрерывны. Из этого следует, что магнитный поток Ф на всех участках неразветвленной маг­нитной цепи имеем одно и то же значение . Индукция поля и на­пряженность поля на отдельных участках будут различны:

; ; ;

; ; .

Сделаем подстановку в уравнение 2-го закона Кирхгофа:

.

Здесь - магнитное сопротивление к-го участка магнитной цепи. Для сравнения: формула электрического сопротивления проводника имеет аналогичную струк­туру: , т.е. в магнитной цепи электрической проводимости соответствует магнит­ная проницаемости материала . Магнитные сопротивления для участков магнитопровода зависят от магнитной проницаемости , которая является функцией магнитного состояния ( ). Следовательно, магнитные сопротивления отдельных участков магнитопровода яв­ляются нелинейными и на схеме представляются нелинейными элементами. Магнитное со­противление зазора и, следовательно, является линейным элементом. С учетом сказанного выше, рассматриваемая магнитная цепь может быть представлена эквивалентной схе­мой с нелинейными элементами (рис. 217б).

18)-

19)-

20) Феррорезонанс

В цепях, содержащих катушку со стальным сердечником и конденсаторов, резонансные явления, связанные с нелинейным характером индуктивности, называют феррорезонансным. Скачкообразное изменение тока сопровождается изменением на 180 ⁰ фазы тока по отношению к напряжению

Феррорезонанс токов

Феррорезонанс токов возникает в цепи с параллельным соединением конденсатора и катушки с ферромагнитным сердечником. Катушка с ферромагнитным сердечником представляет собой нелинейный элемент. Кривая намагничивания материала сердечника имеет вид, показанный на рис.2.

Рис.1.

Если изменить масштаб по оси B в S раз (S - площадь поперечного сечения магнитопровода), а по оси H в l раз (l - длина средней линии магнитопровода), то эта же кривая может рассматриваться как вебер-амперная характеристика катушки с ферромагнитным сердечником Ф=f(I); BS=Ф; Hl=Iw I (w - число витков катушки). Нелинейный связь между потоком и током говорит о том, что индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником не является постоянной величиной. Магнитный поток Ф и напряжение на зажимах катушки, в которой отсутствуют активные потери, связанные соотношением U=4,44fwФ. При изменении напряжения изменяется сцепленный с катушкой магнитный поток и, следовательно, индуктивность катушки.

Если катушку с ферромагнитным сердечником и конденсатор соединим параллельно, то в сложенном контуре при плавном изменении напряжения может наступить резонанс вследствие взаимной компенсации реактивных составляющих токов катушки и конденсатора, это явление получило название феррорезонанса токов.

В ветке, содержащий катушку с ферромагнитным сердечником, при синусоидальной напряжению источника питания ток несинусоидальный. В ветке с конденсатором он изменяется по синусоидальной законом. Поэтому резонансный режим возможен для той из гармоник несинусоидальных тока в ветви с катушкой, совпадает с частотой синусоидального тока в ветви с конденсатором.

Чтобы можно было достичь феррорезонанса для основной гармоники тока катушки и конденсатора, необходимо, чтобы вольт-амперные характеристики катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора пересекались.

Если предположить, что ток в катушке синусоидальный и в параллельном феррорезонансном контуре отсутствуют активные потери, вольт-амперные характеристики для цепи рис.1 и его индуктивной и емкостной ветви будут иметь вид, показанный на рис.3. Точка а соответствует резонансу токов.

В действительности, в результате наличия высших гармоник в токе катушки, а также активных потерь в цепи, вследствие несовершенства конденсатора и катушки, вольт-амперная характеристика всей цепи будет иметь вид, изображенный на рис.4.

Если параллельный феррорезонансный контур питать от источника тока, то при плавном увеличении тока происходит скачки напряжения (с точки n в точку n '). При уменьшении тока напряжение скачком переходит от величины, что характеризуется точкой m в точку m '.

Скачкообразные изменения напряжения на контуре при изменении тока источника питания, сопровождающиеся изменением знака угла сдвига фаз между основными гармониками тока и напряжения в цепи, получили название триггерного эффекта.
Источник: http://elekt.com.ua/toe/elektricheskie-tsepi-sinusoidalnogo-toka/ferrorezonans-tokov.html