Разряд емкости на RL-цепь

Для исследования характера переходного процесса во всех этих случаях рассмотрим разряд емкости С на цепь RL (см. рис. 6.11). Так как до коммутации емкость С была заряжена до напряжения U, то имеем ненулевые начальные условия:

После коммутации (переключение ключа К из положения 1 в положение 2 емкость начнет разряжаться и в цепи возникнет свободный переходный процесс. Найдем закон изменения тока и напряжений на отдельных элементах цепи для случая 1)—3).

В первом случае, когда R>2 , корни p₁ и р₂ в (6.41) будут вещественными и различными, и решение уравнения определится согласно (6.7):
(6.43)
где A₁ и A₂ — постоянные интегрирования. Для определения A₁ и A₂ запишем еще уравнение для тока в цепи:
(6.44)

Постоянные A₁ и A₂ можно найти из начальных условий для u_C(0_–) = U и i(0_–) = 0 (при t = 0_–) и законов коммутации (6.1), (6.2):
(6.45)

Из решения системы уравнение (6.45)

В результате получаем уравнения для напряжения U_C и тока i:
(6.46)
(6.47)

Закон изменения напряжения на индуктивности определяется при этом уравнением
(6.48)

Из уравнений (6.46)—(6.48) следует, что каждая из найденных величин u_C, i, u_L состоит из двух слагаемых, затухающих по экспоненте с коэффициентами p₁ < 0 и p₂ < 0. На рис. 6.12 показан характер зависимостей (6.46)—(6.48). Момент времени t₁, соответствующий точке перегиба u_C, максимуму | i | и нулевому значению u_L определяется из решения уравнения di / dt = 0, а момент t₂ из решения уравнения du_L / dt = 0:
(6.49)

Анализ полученных кривых показывает, что в рассматриваемом случае происходит апериодический разряд емкости С, причем в интервале от 0 до t₁ энергия W_C расходуется на покрытие тепловых потерь в резистивном сопротивлении R и создание магнитного поля в индуктивности ( p_C = u_C i < 0; p_L = u_L i > 0). В дальнейшем (при t > t₁) как энергия электрического поля емкости W_C, так и запасенная к моменту t = t₁ магнитная энергия индуктивности W_L расходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении R. Отрицательное значение тока свидетельствует о противоположном направлении тока разряда относительно опорного направления.

Во втором случае при R < 2 , когда корни p₁ и p₂ носят комплексно-сопряженный характер,
(6.50)
где называют частотой собственных затухающих колебаний. Решение уравнения (6.39) имеет вид (6.9)
(6.51)
где A и — постоянные интегрирования. Закон изменения тока в цепи
(6.52)

Постоянные A и определяются из начальных условий для u_C и i и законов коммутации (6.1), (6.2):
(6.53)

Отсюда

Окончательно уравнения для u_C, i и и принимают вид
(6.54)
(6.55)

(6.56)

Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет место колебательный разряд емкости с частотой _с, зависящей только от параметров R, L, С цепи. Интервал времени Т_c = 2 / _с носит название квазипериода. На рис. 6.13 изображены графики зависимостей u_C(t) и i(t) определяемых уравнениями (6.54) и (6.55). Скорость затухания периодического процесса принято характеризовать декрементом затухания, который определяют как отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака (см. рис. 6.13):
(6.57)

На практике чаще используется логарифмический декремент затухания
(6.58)

Из уравнений (6.57) и (6.58) следует, что затухание тем больше, чем больше R. При R = 2 колебания прекращаются и переходной процесс становится апериодическим. При R = 0 оказываются незатухающие гармонические колебания с частотой _с = ₀ = . Очевидно, что этот случай представляет чисто теоретический интерес, так как в любом реальном контуре имеются потери. В процессе колебательного разряда емкости (свободных колебаний в RLC-контуре) имеет место попеременное запасание энергии W_C в электрическом поле емкости и магнитном поле индуктивности W_L: в начале энергия W_C расходуется на создание магнитного поля W_Lиндуктивности и покрытие тепловых потерь сопротивления R, затем запасенная энергия W_L, расходуется на перезаряд емкости и покрытие потерь в R и т. д. до полного перехода первоначальной энергии W_c(0) в тепловые потери в резисторе R.

Третий случай R = 2 является пограничным между колебательным и апериодическим и соответствует критическому разряду емкости. Решение уравнения (6.39) при этом имеет вид (6.8)
(6.59)

Ток определяется уравнением
(6.60)
где p₁ = p₂ = p = -a — корни характеристического уравнения (6.40); А₁, А₂ — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий для u_C и i и законов коммутации (6.1), (6.2):

Отсюда А₂ = aU. Окончательные выражения для напряжения и тока принимают вид
(6.61)
(6.62)
(6.63)

По своей форме графики зависимостей (6.61)—(6.63) аналогичны кривым, изображенным на рис. 6.12 с той лишь разницей, что их скорость изменения больше, чем при R > 2 . Значение R = 2 носит название критического сопротивления контура.

Апериодический режим в последовательной RLC-цепи наблюдается, когда «активные потери R» относительно велики и корни характеристического полинома (характеристического уравнения) последовательной RLC-цепи являются вещественными и различными

p1,2=−R2L±(R2L)2−1LC−−−−−−−−−−√=−α±α2−ω20−−−−−−√,p1,2=−R2L±(R2L)2−1LC=−α±α2−ω02,

причем p₁ = –α₁ > p₂ = –α₂, то есть постоянные времени τ₁ = 1/α₁ > τ₂ = 1/α₂.

При этом (согласно уравнению состояния последовательной RLC-цепи, подключенной к источнику напряжения u₀ = const)

i(t)=iсв(t)=A1e−tτ1+A2e−tτ2,i(t)=iсв(t)=A1e−tτ1+A2e−tτ2,

то есть процесс в цепи действительно апериодический (поскольку периодические – колебательные составляющие отсутствуют).

При начальных условиях

i (0+) = 0,

i' (0+) = (u₀ – u_C0)/L

получим

A₁ = –A₂ = (u₀ – u_C0)/[L (α₂ – α₁)].

График апериодического переходного процесса второго порядка приведен на рис. 1 для случая τ₁ = 2τ₂.

Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания χ7) Свойства корней характеристического уравнения.

Число корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения. Если характеристическое уравнение представляет собой уравнение первой степени, то оно имеет один корень, если второй степени — два корня и т. д. Уравнение первой степени имеет всегда отрицательный действительный (не мнимый и не комплексный) корень.

Уравнение второй степени может иметь: а) два действительных неравных отрицательных корня; б) два действительных равных отрицательных корня; в) два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действительной частью.

Уравнение третьей степени может иметь: а)три действительных неравных отрицательных корня; б) три действительных отрицательных корня, из которых два равны друг другу; в) три действительных равных отрицательных корня; г) один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью.

Функция Хэвисейда.

Фу́нкцияХевиса́йда (едини́чнаяступе́нчатая функция, функция едини́чного скачка, включённая едини́ца, «ступенька») — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например^[1]

{\displaystyle \theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\{\dfrac {1}{2}},&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}}Переходная характеристика цепи – это отношение реакции этой цепи при нулевых начальных условиях на единичное ступенчатое воздействие. То есть это отклик цепи при подключении ее к источнику тока 1 А или источнику напряжения 1В. При расчете переходной характеристики совершенно не важно, какие на самом деле в цепи присутствуют источники – она не зависит ни от их формы, ни от амплитуды. Она определяется только структурой самой цепи: какие в цепь входят элементы и как они соединены. Из этого понятно, что переходную характеристику рассчитывают при отсутствии внутренних источников энергии. Иногда при подключении цепи к единичному источнику напряжения говорят о переходной проводимости (при расчете тока в этой цепи), а при подключении к единичному источнику тока – о переходном сопротивлении (при расчете напряжения). Поэтому размерность переходных характеристик может быть самой разной: например, если рассчитывается ток в ветви, а цепь подключается к единичному источнику напряжения, то размерность будет См, а если в этом случае мы подключаем цепь к единичному источнику тока – то переходная характеристика безразмерна.

Чтобы определить переходную характеристику, цепь надо рассчитать так или иначе, например, классическим или операторным методом. В случае использования операторного метода надо не забыть определить оригинал переходной характеристики.