Параллельное соединение RLC-элементов

Для параллельного соединения RLC-элементов (рис. 1) справедливо уравнение первого закона Кирхгофа. Для комплексных токов:

где - соответственно активная, индуктивная и емкостная проводимости отдельных ветвей цепи.

9)Де́льта-фу́нкция (или δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Рассмотрим функцию δ (x, γ) колоколообразного типа, зависящую от параметра γ и удовлетворяющую условию

(1)

при любых (достаточно малых) значениях параметра γ.

Предположим, что при убывании γ график этой функции вытягивается вдоль оси 0y и одновременно сжимается, как это показано на рисунке.

В результате предельного перехода γ → 0 функция δ (x, γ) преобразуется в дельта-функцию Дирака δ (x):

(2)

При этом

(3)

В некотором смысле дельта-функция представляет собой обобщение дельта-символа Кронекера, определяемого условиями

(4)

Очевидно, что дельта-функция является четной функцией,

δ (–x) = δ (x),

и обладает следующими свойствами:

(5)

Действительно, для любого сколь угодно малого числа ε > 0 функция равна нулю за пределами ε-окрестности точки x₀. Поэтому

 

 

Импульсная (весовая) характеристика или импульсная функция цепи – это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равная реакции цепи на единичное импульсное воздействие на ее входе при нулевых начальных условиях (рис. 13.14); другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на дельта-функцию Дирана на ее входе.

 

10) Метод переменных постоянных

Методом переменных состояния назовем анализ цепи, основанный на решении уравнений состояния (первого порядка), записанных в форме Коши. Таким образом, метод переменных состояния - один из методов расчета прежде всего переходных процессов. Далее предполагается, что цепь имеет только независимые источники и не содержит индуктивных сечений и емкостных контуров. В противном случае составление уравнений становится намного сложнее.
Для линейной цепи с постоянными сосредоточенными параметрами ток каждой ветви, напряжение между выбранными выводами, заряд на обкладках конденсатора и т. д. всегда можно найти как решение составленного для этого тока, напряжения, заряда и т. д. дифференциального уравнения (например, исключением других токов и напряжений из системы уравнений Кирхгофа):

Введением переменных это уравнение сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка:

11) Преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оргигинала) называется функция:

f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) - изображением преобразования Лапласа. f(x) и F(p) однозначно определяются друг относительно друга, тоесть если Вы знаете f(x), то всегда можете узнать F(p), и наоборот, если знаете F(p), то всегда можете получить f(x).

Преобразование Лапласа является одним из самых мощных инструментов для решения очень многих задач в области математики, экономики, радиотехники,геометрии, теории управления, микропроцессоров, теории вероятности, теории массового обслуживания и много другого. Часто для решения задачи достаточно получить преобразование Лапласа от искомой функции (именно здесь и пригодится таблица преобразований Лапласа). Также преобразование Лапласа используют при решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, для решения интегральных уравнений, вычисления несобственных интегралов, для представления сигнала в спектральной области и многого другого!

Если в преобразовании Лапласа или таблице преобразований Лапласа Вам что-то не понятно, то Вы всегда можете задать вопрос на нашем форуме, мы будем рады Вам помочь!

 

Таблица преобразований Лапласа, таблица Лапласа

 

 

Теорема подобия. Дополнительное умножение аргумента t в оригинале на число а R, a > 0 приводит в изображении к уменьшению в а раз параметра p и самого изображения,

f(аt) =: F( ). ( 2 )

Доказательство.

f(аt) =: = = =

= = = F( )

Пр.6 sin at =: = ; cosat =: =

Теорема смещения. Переход в изображении от p к (p + z), где z комплексное число, причем Re (p + z) > s₀ , приводит к дополнительному умножению оригинала на экспоненту e^-zt

F(p + z) =: e^-zt f(t) ( 3 )

Доказательство.

e^-zt f(t) =: = = F(p + z)

Пр.7 e^zt sin at =: ;e^zt cos at =:

Теорема запаздывания. Уменьшение параметра t в оригинале на величину > 0 приводит к дополнительному умножению изображения на экспоненту

f(t - ) =: F(p) ( 4 )

Доказательство.

f(t - ) (t- ) =: F(p)

(t- ) - функция Хевисайда (0 если t < , 1 еслиt< )

f(t - ) =: = +

+

Первый интеграл равен 0, т.к. (t- )= 0 при t< .

f(t - )=: = =

= = F(p)

Пр.8 (t - ) =: и (t – a) (t - а) =: с учетом Пр. 5 .

 

Интеграл свертки

f2(t)=∫0tf1(τ)⋅h(t−τ)dτf2(t)=∫0tf1(τ)⋅h(t−τ)dτ

позволяет при t > 0 найти реакцию f₂(t) при произвольном воздействии f₁(t) (причем f₁ = 0 при t < 0), если известна импульсная характеристика цепи

h(t)=h′1(t)=dh∗1(t)dt⋅δ1(t)+h1(0+)⋅δ(t)=h0(t)+h1(0+)⋅δ(t),h(t)=h′1(t)=dh1*(t)dt⋅δ1(t)+h1(0+)⋅δ(t)=h0(t)+h1(0+)⋅δ(t),

где h₁(t) = h₁^*(t)·δ₁(t) – переходная характеристика; δ₁(t) – единичная ступенчатая функция; τ – переменная интегрирования; t – текущее время (момент наблюдения). Поскольку t > 0, то все единичные ступенчатые функции под интегралом можно опустить Трудности взятия интеграла свертки возникают, если импульсная характеристика содержит дельта-функцию δ(t). Расчетная формула в этом случае

f2(t)=∫0tf1(τ)⋅h0(t−τ)dτ+h1(0+)⋅f1(t),f2(t)=∫0tf1(τ)⋅h0(t−τ)dτ+h1(0+)⋅f1(t),

где h₀(t) — часть импульсной характеристики, не содержащая единичную импульсную функцию.

При использовании операторного метода проще находить реакцию f₂(t) по ее изображению

F₂(s) = H(s)·F_l(s),

где H(s) – передаточная функция цепи. Интеграл свертки также называют интегралом наложения, выраженным через импульсную характеристику цепи.

12) Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме

Связь между током и напряжением. Рассмотрим переход от оригиналов к изображениям в соотношениях, связывающих токи напряжения элементов цепи. Для резистора u = Ri, и в силу линейности преобразования Лапласа такая же связь имеет место и для изображений

.

Связь тока и напряжения на катушке u_L = L di/dt перепишем с использованием правила изображения производной

.

Эту же связь можно представить и иначе:

.

Аналогично выполняется переход к изображению связи между током и напряжением конденсатора i_C = C du_C/dt:

или

.

Из полученных выражений следует, что дифференциальные соотношения для оригиналов заменяются алгебраическими соотношениями для изображений, отражающим все исходные данные задачи, включая начальные условия. В этом и состоит суть операторного метода расчета переходных процессов: дифференциальные уравнения, описывающие переходный процесс, заменяются алгебраическими уравнениями для изображений.

Полученные операторные связи допускают схемную интерпретацию. Выражение для напряжения на катушке позволяет получить схему, приведенную на рис. 19.4, а, в которой эквивалентом катушки является ее операторное сопротивление Z_L(s) = sL, включенное последовательно с источником ЭДС E_L(s) = Li_L(0).

Рис. 19.4

Из выражения, разрешенного относительно тока I_L(s), получаем схему с параллельным соединением операторной проводимостикатушки Y_L(s) = 1/sL и источника тока J_L(s) = i_L(0)/s (рис. 19.4, б). Аналогичные схемы строятся и для конденсатора. Они включают либо последовательно соединенные операторное сопротивление конденсатора Z_C(s) = 1/sC и источник ЭДС E_C(s) = u_C(0)/s (рис. 19.4, в), либо параллельно соединенные проводимость Y_C(s) = sC и источник тока J_C(s) = Cu_C(0) (рис. 19.4, г).