Дан тетраэдр DАВC. Точки М, N, Р являются серединами ребер DА, DВ, DС. Доказать, что плоскости МNР и АВС параллельны

6. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Определение: Углом между непараллельными прямыми т и п называется меньший из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми т' и п', где т' || т , п' || п .

, , .

Замечание: Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен .

Обозначение:

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Задача: Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁.

Найти: ; ; .

Решение:

По признаку параллельности двух прямых:

и , следовательно, . .

. , так как СDD₁С₁ является квадратом.

.

По признаку скрещивающихся прямых:

, следовательно, · .

, следовательно, .

.

Вывод:

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение:

Задача: Доказать, что через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную к данной плоскости.

Дано: g ;

Доказать:

Доказательство (методом от противного):

Предположим, что через точку М проходит две различные прямые, перпендикулярные плоскости g : .

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: , , , .

Доказать: .

Доказательство:

Чтобы доказать, что , докажем, что прямая т перпендикулярна произвольной прямой l, принадлежащей плоскости .

Пусть , . , если , т. е.

Дополнительные построения:

Через точку N, принадлежащую плоскости a , проведём прямые и , .