Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения

Найти общее (частное) решение уравнения

9.1. .

9.2. .

9.3. ; , .

9.4. .

9.5. , , .

Ответы:

9.1. ;

9.2. ;

9.3. ;

9.4. ;

9.5. .

Контрольные вопросы.

1.Какое дифференциальное уравнение называется уравнением 2-го, n-го порядка? Приведите примеры.

2.Как определяются общее и частное решения уравнения 2-го, n-го порядка? Запишите общий вид этих решений.

3.Способы решения уравнений, допускающих понижение порядка, перечислите их. Приведите примеры.

Cправочная таблица 2

Алгоритм решения уравнения	Тип уравнения	Признак типа	Метод понижения порядка
1. Определить тип уравнения. 2. Понизить порядок уравнения. 3. Решить полученное уравнение 1-го порядка (см.табл.1.) относительно функции z или p. 4. Возвратиться к первоначальной переменной, заменив z(x) или p(y) на . 5.Решить вновь полученное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.		Нет явно	Последовательное интегрирование два раза
	Нет явно y	Ввести подстановку:   y=z(x),
	Нет явно x	Ввести подстановку:

10. Линейные дифференциальные уравнения -ого порядка.

Определение 10.1: Линейнымдифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида

(10.1)

Здесь функции ) и заданы и непрерывны в некотором промежутке .

Уравнение (1) называется линейным неоднородным, или уравнением с правой частью. Если же , то уравнение называется линейным однородным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.

Рассмотрим линейные однородные уравнения.: общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям.

Теорема: (Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения)

Если — линейно независимые частные решения уравнения

то есть общее решение этого уравнения ( —произвольные постоянные).

Примечание. Функции называются линейно независимыми в промежутке если они не связаны никаким тождеством

где какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно.

Для случая двух функций это условие можно сформулировать и так: две функции и линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной : const. Например:

1) —линейно независимы;

2) —линейно независимы;

3) — линейно зависимы.

Совокупность решений линейного однородного уравнения -го порядка, определенных и линейно независимых в промежутке , называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений и его общее решение находится по формуле