Геометрический смысл основных понятий

Дифференциальное уравнение геометрически представляет собой поле направлений касательных к интегральным кривым.

Общее решение – уравнение семейства интегральных кривых , где параметр С=const . )

Частное решение – уравнение интегральной кривой семейства, проходящей через точку .

Особые точки-точки плоскости, через которые либо проходит несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Определение 3.1Дифференциальные уравнения первого порядка (2.2) и (2.3) называются уравнениями с разделяющимися переменными ,если они представимы в виде

(3.1)

или

(3.2).

В уравнениях (3.1) и (3.2) разделим переменные и проинтегрируем.

или

.

После интегрирования получим либо общий интеграл, либо общее решение.

Если заданы начальные условия , то найдем частное решение, подставив С , найденное по начальным условиям, вместо С .

Пример 3.1

Решить задачу Коши .

Решение:

-это уравнение с разделяющимися переменными, т.к. . Разделим переменные: и проинтегрируем

или - общий интеграл.

Решим задачу Коши: В общий интеграл подставим начальные условия:1 -0 =2С, С= . Запишем частный интеграл, подставив С= в общий интеграл дифференциального уравнения. - частный интеграл.

Геометрический смысл дифференциального уравнения и его решений.

Геометрически решение данного дифференциального уравнения представляет собой семейство равносторонних гипербол , а частный интеграл, соответствующий решению задачи Коши - это гипербола , проходящая через заданную точку.(Рис.2)

Пример 3.2

Решить уравнение .

Решение.

Разделим обе части уравнения на , получим уравнение с разделяющимися переменными . Проинтегрируем это уравнение и получим - общий интеграл дифференциального уравнения .

Потенцируя последнее равенство, получим общее решение уравнения , .Заметим , что решение входит в общее решение при С=0.

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся уравнения вида при помощи подстановки , где - постоянные.

Подставим в уравнение .Получим , т.е. . Проинтегрируем и получим . В общем интеграле вернемся к прежней переменной .

Пример 3.3.

Решить задачу Коши .

Решение.

Пусть , тогда , или . Разделим переменные и проинтегрируем

.

Потенцируем полученное уравнение: или .

- общее решение.

Найдем частное решение:

.

Подставим С в общее решение. - частное решение.

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее (частное) решение уравнения

3.1. .

3.2. ,

3.3.

3.4. ;

3.5.

Ответы:

3.1. ;

3.2. ;

3.3.

3.4. ;

3.5.