Степени тензоров второго ранга

Уравнение Гамильтона-Кэли.

Приведение симметричного тензора 2-го ранга к главным осям позволяет очень просто записать степени этого тензора. В параграфе 16 был определен квадрат тензора как тензор , куб – как и т.д. Легко показать, что из симметрии тензора следует симметрия всех его степеней (Задача 32). Если матрица симметричного тензора относительно системы главных осей имеет диагональный вид (177), то квадрат тензора в той же системе равен

(185)

Аналогично для всех других степеней, и в общем виде:

(186)

Сравнение (186) и (177) показывает, что тензор и все его целые степени имеют одни и те же главные оси.

Все главные значения удовлетворяют характеристическому уравнению (163), а матрица тензора имеет диагональный вид (186). Из этого следует, что сам тензор будет удовлетворять уравнению (163). Таким образом, получаем:

, (187)

где – единичный тензор. Уравнение (187) называется уравнением Гамильтона-Кэли. Из него получаем:

(188)

Умножим обе части на тензор со свертыванием по одной паре индексов, т.е. способом, описанным в пункте 5 параграфа 16, которым получаются степени тензора :

.

Подставив сюда (188), после преобразований получим:

(189)

Продолжая действовать таким же образом, можно получить более высокие степени тензора в виде линейных комбинаций тензоров , , . Коэффициенты этих линейных комбинаций представляют собой многочлены относительно инвариантов .

Круги Мора.

Часто случается, что мы хотим преобразовать компоненты симметричного тензора 2-го ранга от одной системы координат к другой, получающейся из первой простым поворотом вокруг одной из осей. Компоненты тензора в новой системе можно найти графически с помощью построения Мора.

Предположим, что новая система координат получается из старой поворотом вокруг оси на угол против часовой стрелки. Этот случай был рассмотрен в задаче 2 параграфа 8 (см. Рис. 6). Матрица перехода была определена формулой (53). Воспроизведём её:

(190)

Пусть старые оси координат – это главные оси тензора . Это значит, что в старой системе матрица тензора диагональна (см. формулу (177)). Компоненты тензора в новой системе определяются по уже известной нам формуле:

(192)

Имея в виду формулу (177), получим:

(193)

Учитывая, что матрица перехода определена формулой (190), имеем:

(194)

т.е. из всех компонент тензора в новой системе отличны от нуля только четыре: (195)

где , ,

.

Преобразуем эти формулы к виду:

(196)

Рис. 12а)

Формулы (196) можно интерпретировать графически (рис.12а). Предположим, что . Отметим на оси абсцисс точки и , и на отрезке между ними как на диаметре построим окружность.

Ее радиус равен . Центр окружности – точка – имеет абсциссу, равную . Построим радиус так, чтобы угол, образуемый им с осью абсцисс, был равен и откладывался против часовой стрелки. Найдем координаты точки . Абсцисса будет равна: , а ордината .

Сравнивая с формулами (196), видим, что координаты точки равны компонентам тензора и , т.е. . Продолжим радиус до точки и получим, что абсцисса точки равна:

, т.е. координаты точки : .

Когда ось на рис. 6 поворачивается против часовой стрелки до совпадения с осью , точка на рис. 12а движется вдоль верхней половины окружности от положения до положения . Компоненты тензора и всегда имеют промежуточное значение между и , и достигают экстремальных значений, когда точка находится в положениях или , т.е. когда новые оси совпадают с главными осями. Легко видеть также, что сумма имеет неизменное значение при любом положении осей координат. Следовательно, является инвариантом этого преобразования: .

Компонента достигает наибольшего значения, равного , когда , или . Когда ось вращается в обратном направлении, то точка тоже движется в обратном направлении. Компонента отрицательна, когда точка находится на нижней полуокружности.

Рис. 12в)

Рис. 12б)

На рис. 12а изображен случай, когда главные значения и положительны, но все построение остается справедливым и в том случае, когда оба главных значения и отрицательны, как показано на рис. 12б, или они имеют разные знаки, как на рис. 12в.

Мы описали способ, как можно графически найти компоненты тензора в произвольной системе координат, которая получается из главной путем вращения вокруг главной оси . Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть известны компоненты тензора , , . Необходимо найти главные значения и . Отмечаем на плоскости две точки: и . На отрезке , как на диаметре, строим окружность. Точки пересечения окружности с осью абсцисс и определяют главные значения.

На практике построение окружности Мора полезно, главным образом, как быстрый способ вывода формул. Из выражений (196) можно найти главные значения и . Но пользуясь окружностью Мора, это можно сделать гораздо быстрее. Из рис. 12а видно, что

, (197)

Отрезок определяет абсциссу центра окружности Мора. Ее легко найти, зная координаты точек и :

(198)

Отрезок , как и , равен радиусу окружности. Его можно найти опять-таки, зная координаты точек и :

(199)

Тогда: , (200)

Угол поворота точки легко определить из рис. 12:

(201)

При построении рис. 12а-в мы предполагали, что вращение системы координат происходит вокруг оси , и что . На практике часто приходится применять это построение для случаев, когда порядок осей не соответствует рассмотренной схеме. Поэтому поступают следующим образом. Из двух главных компонент, участвующих в преобразовании, выбирается наибольшая и соответствующее ей главное направление принимается за ось . Вдоль главного направления, соответствующего меньшей компоненте, направляется ось . Затем вводятся соответствующие обозначения осей на чертежах рис. 12а-в.