Преобразование координат точки и вектора

Рассмотрим какую-либо точку пространства с координатами в старой системе: . Разложим радиус-вектор этой точки по старому базису:

(24)

Перейдем в новую систему координат. Точка и ее радиус-вектор будут иметь уже новые координаты , и разложение по новому базису будет выглядеть так:

(25)

Подставим в формулу (24) формулы (20), выражающие старые базисные векторы через новые:

Пользуясь правилом Эйнштейна, запишем это короче:

(26)

Сравнивая (26) с (25) и принимая во внимание, что разложение по базису единственно, получим, что координаты точки в новой системе координат равны:

, , .

Эти формулы можно объединить в одну и тогда получим:

(27)

По этому правилу преобразуются координаты точки и радиус-вектора при переходе от старой системы координат к новой. Выведем теперь формулы обратного преобразования. Подставим в формулу (25) формулу (22а). При этом сразу будем пользоваться правилом суммирования:

(28)

Сравним (28) с (24). При этом, поскольку в (24) индекс является немым, заменим его буквой , а в (28) немой индекс заменим буквой . Получаем:

(29)

По этой формуле преобразуются координаты точки и радиус-вектора при переходе от новой системы координат к старой.

По формулам (27) и (29) преобразуются координаты радиус-вектора. Поскольку все векторы мы считаем свободными, то по этим же формулам преобразуются координаты (компоненты) любого вектора. Укажем правило для запоминания суммирования в формулах преобразования (27) и (29). Первая формула (27) выражает новые координаты через старые, суммирование производится по старым координатам, а это второй индекс у элементов матрицы . Следовательно, суммирование производится по второму индексу. Вторая формула (29) выражает старые координаты через новые. Суммирование производится по новым координатам, а это соответствует первому индексу у элементов . Следовательно, суммирование идет по первому индексу.

Символ Кронекера.

Перепишем формулы (27) и (29):

, (30)

и подставим вторую в первую:

(31)

Распишем это подробно. Здесь двойное суммирование: по индексу и по индексу :

Отсюда:

Следовательно:

(32)

Первые три формулы можно сокращенно записать так:

.

Следующие три формулы перепишем:

Объединяя эти две группы формул, можно записать:

(33)

Введем так называемый символ Кронекера:

(34)

С его помощью формулу (33) запишем в виде:

(35)

Вернемся к формулам (30) и подставим теперь первую во вторую:

Если это выражение расписать подробно, как (32), то в итоге получим:

(36)

Формулы (35) и (36) есть не что иное, как выражение свойств б) и в) ортогональной матрицы преобразования системы координат, сформулированные в §3.

Переставим местами в формуле (35) индексы и :

, (37)

или (38)

т.е. символ Кронекера симметричен.

Символ Кронекера обладает замечательным, так называемым фильтрующимсвойством, на котором и основано широкое применение этого символа. Рассмотрим выражение: . Если , то правая часть будет равна , если , то , если , то , т.е.:

. (39)

Это соотношение означает, что из всех компонент вектора символ Кронекера «отфильтровывает» одну, а именно .