Векторное произведение как антисимметричный тензор

Векторное произведение двух векторов впервые появилось при изучении векторной алгебры и определялось там, как вектор, поставленный в соответствие по определенному правилу перемножаемым векторам. Познакомившись с понятием тензора, мы увидели, что в действительности векторное произведение – псевдовектор (аксиальный вектор). В тензорном анализе векторное произведение векторов и часто определяют как величину:

(149)

Видим, что это удвоенная антисимметричная часть диады , взятая со знаком минус, и потому являющаяся антисимметричным тензором 2-го ранга (бивектором). Три существенные компоненты этого бивектора являются компонентами векторного произведения в смысле определения векторной алгебры. В самом деле, матрица бивектора (149) выглядит так:

(150)

В параграфе 19 формулой (142) мы обозначили существенные компоненты бивектора как . Сравнивая (150) и (142) видим, что: ; ; (151)

А это и есть компоненты векторного произведения, как они были определены в векторной алгебре. Следовательно, векторное произведение двух векторов – это бивектор вида (149).

Задачи.

Задача 13. Расшифровать следующие тензорные символы: , , , , .

Решение. а) представляет собой сумму: и получается свёрткой тензора 2-ранга . Она называется следом тензора и обозначается или . След тензора 2-ого ранга равен сумме его диагональных компонент.

б) – это свертка тензора третьего ранга по двум последним индексам. Она равна . Результат этой свертки является тензором 1-ого ранга (вектором).

в) – это тензор 2-ого ранга. Он имеет девять компонент: , , , , , , , , .

г) – получается в результате свертки произведения вектора и тензора 2-ого ранга ( ). Это произведение является тензором 3-его ранга. В результате свертки по индексам и получается тензор, ранг которого меньше на два, т.е. тензор 1-ого ранга (вектор). В подробной записи это будет так: .

д) Рассмотрим произведение векторов , и тензора 2-ого ранга . Получим тензор 4-ого ранга . Произведем свертку по парам индексов и : . Суммируем по индексу : и далее по индексу . В результате получаем тензор нулевого ранга (скаляр):

.

Задача 14. Показать, что сумма является тензором 2-ого ранга, если известно, что и – тензоры 2-ого ранга.

Решение. При переходе к новой системе координат тензоры и преобразуются по закону, выраженному формулами (70), (72). Применяя формулу (72), получим: , . Отсюда: , а это значит, что указанная сумма преобразуется как тензор 2-ого ранга.

Задача 15. Показать, что .

Решение. В выражении все индексы являются немыми. Поскольку немые индексы можно обозначить любыми буквами, во втором слагаемом заменим индексы следующим образом: . Тогда второе слагаемое примет вид: . В третьем слагаемом немые индексы переобозначим так: . Тогда третье слагаемое будет иметь вид: . В результате получаем:

.

Задача 16. – симметричный, – антисимметричный тензоры. Показать, что .

Решение. Так как и , то и . Поскольку все индексы являются немыми, то во втором слагаемом переобозначим индексы так: . Тогда . Отсюда .

Задача 17. Показать, что свернутое произведение произвольного тензора с симметричным тензором не зависит от антисимметричной части .

Решение. Разложим тензор на симметричную и антисимметричную части: .

Тогда . В силу предыдущей задачи , поэтому свертка содержит только симметричную часть тензора

Задача 18. Пусть физическая величина определена в прямоугольной системе координат двадцатью семью числами . Пусть при переходе к другой системе координат величина преобразуется как вектор при любом выборе тензора . Доказать, что величины представляют собой компоненты тензора 3-его ранга (один из вариантов теоремы деления тензоров).

Решение. Обозначим через вектор . В другой системе координат этот же вектор будет иметь компоненты , равные . Поскольку нам известно, что – это тензор 2-ого ранга, а – вектор, то ; . Тогда . Умножив обе части на , получим: . Отсюда . С другой стороны . Тогда и . Это равенство может выполняться для произвольного тензора только в том случае, если коэффициенты при компонентах равны нулю. Отсюда получаем: . Умножим обе части этого равенства на : , или , т.е. .

Видим, что величины и преобразуются друг в друга как компоненты тензора 3-его ранга.

Задача 19. Доказать формулу (119) для - тензора.

Решение. а) . Здесь производится свертка по всем трем индексам. Распишем ее подробно, пользуясь определением символа Леви-Чивитты (117), (118).

б) . Здесь производится свертка по двум парам индексов. В подробной записи:

Каждое слагаемое по отдельности в скобках равно:

, ,

.

Поэтому . Отсюда .

Чтобы доказать третью формулу (119), вначале докажем вспомогательное тождество.

Задача 20. Доказать тождество:

(151)

Решение. Для доказательства рассмотрим определитель:

(152)

Известно, что перестановка строк и столбцов ведет к изменению знака определителя. Например,

.

Если менять местами строки произвольное число раз, то . А если менять местами столбцы, то .

Следовательно, для произвольной последовательности перестановок строк и столбцов получим:

(153)

Положим в определителе (152) :

. Определитель (153) при этом примет вид: , ч.т.д.

Задача 21. Используя тождество (151), доказать третью формулу (119), т.е. .

Решение. Разложим определитель в (151) по элементам первой строки:

Положим теперь :

ч.т.д.

Задача 22. Пользуясь свойствами и определением - тензора, доказать основные свойства векторного произведения.

Решение. В параграфе 18 показано, что векторное произведение векторов и может быть записано так: (154)

а) Покажем, что векторное произведение ортогонально к своим сомножителям. Умножим обе части (154), например, на :

Скалярное произведение равно нулю, а это и означает, что векторное произведение ортогонально вектору Аналогично доказываем, что векторное произведение ортогонально и второму сомножителю .

б) Докажем антикоммутативность векторного произведения. Векторное произведение на вектор определено формулой (154). Векторное произведение вектора на вектор будет равно: , ч.т.д.

в). Найдем модуль векторного произведения. Умножив обе части (154) на , получим квадрат модуля: .

В соответствии с формулой (121) в правой части стоит смешанное произведение векторов , , . Как известно, оно равно алгебраическому значению объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. Поскольку в левой части стоит квадрат модуля, то правая часть положительна и векторы , , образуют правую тройку (если система координат правая). Кроме того, как было показано в п. а), ребро параллелепипеда ортогонально основанию, образованному векторами и . Поэтому объем параллелепипеда равен произведению длины ребра на площадь основания. С другой стороны, этот же объем равен . Поэтому . Отсюда .

Задача 23. Пользуясь определением и свойствами - тензора, доказать некоторые свойства смешанного произведения.

Решение. Смешанное произведение трех векторов , , с помощью - тензора записывается так:

(155)

а) Докажем, что если векторы , , компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Компланарные векторы лежат в одной плоскости. Но три вектора, лежащие в одной плоскости, обязательно будут линейно зависимыми. Это означает, что один из них представляет собой линейную комбинацию двух других. Например, или в координатах: . Смешанное произведение таких векторов будет равно:

Расписывая каждое слагаемое подробно, так же, как в задаче 22а, легко показать, что оба они равны нулю, т.е. равно нулю само смешанное произведение.

б) Докажем, что если переставить местами два сомножителя в смешанном произведении, то оно меняет знак: .

Поскольку здесь все индексы немые и их можно обозначить любыми буквами, то мы произвели замену индексов так: , .

в) Докажем, что при круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется:

.

Здесь мы произвели замену немых индексов так: , , .

Задача 24. Доказать, что двойное векторное произведение трех векторов можно представить в виде

(156).

Решение: Пользуясь - тензором, нетрудно получить, что:

Задача 25. Показать, что является бивектором и построить эквивалентный ему аксиальный вектор.

Решение. Как было определено в параграфе 19, бивектором называется антисимметричный тензор 2-ого ранга. Докажем вначале, что величины образуют тензор 2-ого ранга. Ограничившись только правыми системами координат, получим, что при преобразовании координат:

,

т.е. величины действительно преобразуются как компоненты тензора 2-ого ранга. Докажем теперь антисимметричность тензора : .

Как было показано в параграфе 19 (формула (143)), вектор, эквивалентный бивектору, равен . В данном случае:

.

Мы воспользовались здесь второй формулой (119). Таким образом, вектор, эквивалентный бивектору, совпадает с вектором .

Задача 26. Показать, что вектор, двойственный произвольному тензору , зависит только от его антисимметричной части .

Решение. Вектор, двойственный произвольному тензору второго ранга , был определен в параграфе 20 формулой (145): .

Разложив тензор на симметричную и антисимметричную части, получим:

, (157)

где , .

Покажем, что первое слагаемое в (157), соответствующее симметричной части тензора , равно нулю: . Поскольку индексы – немые и их можно обозначить любыми буквами, то сделаем замену этих индексов: . Тогда: , а это означает, что двойственный вектор от симметричной части тензора не зависит.