Преобразование систем координат

Мы будем рассматривать только трехмерное евклидово пространство и только прямоугольные декартовы системы координат в нем. Как известно из курса линейной алгебры, такая система координат определяется ортонормированным единичным базисом из векторов . Для удобства и для единообразия обозначений будем в дальнейшем обозначать базисные векторы через , а оси прямоугольной системы координат через . Преобразование системы координат может включать в себя перенос начала координат без изменения направления осей (трансляция), изменение ориентации осей без переноса начала, а также и то, и другое вместе. Первый тип преобразования – трансляция, не представляет интереса, поскольку в этом случае координаты всех точек пространства изменяются на одну и ту же величину. Поэтому будем рассматривать только второй тип преобразования, считая начало координат неизменным. Изменение ориентации осей координат может происходить либо в результате вращения вокруг какой-либо оси, либо при отражении (инверсии) в какой-то плоскости.

Рассмотрим две системы координат и с общим началом. Первую систему координат назовем старой, а вторую новой. Разложим базисные векторы новой системы по старому базису :

(14)

Поскольку все базисные векторы единичны, координатами (или компонентами) новых базисных векторов являются направляющие косинусы. Из направляющих косинусов составим матрицу: (15)

Матрица называется матрицей преобразований, ее элементы суть направляющие косинусы векторов нового базиса относительно старого базиса. Первый индекс относится к новой системе, второй индекс – к старой системе, так что первая строка матрицы преобразования – это направляющие косинусы базисного вектора , вторая строка – направляющие косинусы вектора и третья – направляющие косинусы вектора .

Можно поступить наоборот, разложить старые базисные векторы по новому базису :

(16)

И здесь составим матрицу преобразования так, чтобы направляющие косинусы вектора располагались в первой строке, вектора – во второй и вектора – в третьей.

(17)

Матрица называется матрицей обратного перехода. Сравнивая матрицы переходов и , видим, что по отношению друг к другу они транспонированы, т.е. , где обозначает символ транспонирования.

Рассмотрим свойства матриц преобразования на примере матрицы :

а) Матрица не симметрична, т.е. .

б) Сумма квадратов элементов каждого столбца и каждой строки равна единице. Это следует из того, что столбцы матрицы суть направляющие косинусы одного из старых базисных векторов, сумма квадратов которых, как известно, равна единице. Строки матрицы – это направляющие косинусы одного из новых базисных векторов в старом базисе и поэтому сумма их квадратов также равна единице.

в) Сумма произведений элементов одного столбца (строки) на элементы другого столбца (строки) равны нулю. Это следует из ортогональности базисных векторов, как новых, так и старых, и поэтому скалярное произведение двух векторов одного базиса равно нулю.

г) Матрица перехода не вырождена и ее определитель равен ±1 в зависимости от того, одинакова или нет ориентация нового и старого базисов относительно друг друга. Как известно из курса векторной алгебры, тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору кажется происходящим в положительном направлении (против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора ). Составим смешанное произведение векторов нового базиса . С геометрической точки зрения оно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если оба базиса имеют одинаковую ориентацию, например, оба правые, и со знаком минус, если ориентация базисов различна (один из них правый, другой левый). Поскольку упомянутый параллелепипед является прямоугольным и все его три размера равны единице, то и объем равен единице. С другой стороны, это же смешанное произведение равно определителю, составленному из координат перемножаемых векторов. Поскольку при транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, то и определитель матрицы обратного перехода тоже равен ±1.

д) Матрицы и определяют два взаимнообратных преобразования базисов. Поэтому эти матрицы являются по отношению друг к другу тоже взаимно обратными. Таким образом, матрица, обратная по отношению к матрице , получается простым транспонированием. Отсюда следует, что , где – единичная матрица. Матрица, обладающая перечисленными свойствами, называется ортогональной матрицей. Следовательно, преобразование прямоугольных систем координат осуществляется с помощью ортогональных матриц.

Используя теперь обозначения для элементов матрицы перехода , перепишем формулы (14) и (16):

(18)

или короче: , (19)

Аналогично для обратного преобразования:

(20)

или сокращенно , (21)