Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где , , - направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Пусть - какая угодно точка пространства, d - расстояние от нее до данной плоскости. Отклонением точки от данной плоскости называется число +d, если точка и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число -d, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).

Если точка имеет координаты , , , а плоскость задана нормальным уравнением

,

то отклонение точки от этой плоскости дается формулой

.

Очевидно, .

Общее уравнение плоскости

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирущий множитель, определяемый формулой

;

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Угол между двумя плоскостями

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Пусть две пересекающиеся плоскости A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂y + B₂y + C₂z + D₂ = 0 имеют нормальные векторы =(A₁;B₁; C₁) и =(A₂; B₂; C₂). Тогда угол между этими плоскостями вычисляется по формуле:

Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Для того чтобы две плоскости были параллельны, их нормальные векторы и должны быть коллинеарны, т.е. , где λ≠0. Если ни одна из координат векторов и не равна нулю, то из последнего равенства следует, что:

A₁ / A₂ = B₁ / B₂ = C₁ / C₂,

т.е. коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны.

Для того чтобы плоскости были перпендикулярны, их нормальные векторы и также должны быть перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю: . Отсюда следует, что:

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Уравнения прямой в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a(m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Векторa называется направляющим вектором прямой.