Окружность. Уравнение окружности

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию . Пусть точка М в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты , а – произвольная точка окружности (см. рис. 48).

О

х

у

R

Рис. 48.

 

 

 

Тогда из уравнения получим уравнение

то есть

(11.2)

 

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащих на окружности.

Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности.

В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат

Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1) коэффициенты при и равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение текущих координат

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения и получим

(11.3)

Преобразуем это уравнение:

т.е.

т.е.

(11.4)

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии, Ее центр находится в точке , а радиус . Если же , то уравнение (11.3) имеет вид . Ему удовлетворяют координаты единственной точки . В этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус).

Если , то уравнение (11.4) а, следовательно, и равносильное уравнение (11.3) не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть – не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).

 

34.Эллипс ( вершины, оси, полуоси, фокусы…).Уравнение эллипса.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

 

О

х

у

Рис. 49.

Обозначим фокусы через и , расстояние между ними через , а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через (см. рис. 49). По определению , т.е. .

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы и лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты и .

 

Пусть – произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса , т.е.

. (11.5)

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

,

,

,

,

.

.

Так как , то . Положим

 

(11.6)

.

Тогда последнее уравнение примет вид или

 

(11.7)

 

Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническим уравнением эллипса.

Эллипс – кривая второго порядка.