Взаимное расположение прямых. Нахождение общих точек

Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

Нормальное уравнение прямой

 

Пусть прямая определяется заданием p и α (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

т.е.

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты имеем: Следовательно, уравнение (10.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид

(10.11)

 

О

х

у

p

α

Рис. 45

Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой.

Покажем, как привести уравнение (10.4) прямой к виду (10.11).

Умножим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель . Получим Это уравнение должно обратиться в (10.11). Следовательно, должны выполняться равенства: Из первых двух равенств находим ,т.е.

 

 

Множитель называется нормирующим множителем. Согласно третьему равенству знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.

 

Пример 10.2. Привести уравнение к нормальному виду.

 

Решение: Находим нормирующий множитель Умножая данное уравнение на , получим искомое нормальное уравнение прямой:

О

О

О

О

О

О

О

О

Рис. 47.

Расстояние от точки до прямой

 

Пусть заданы прямая L уравнением и точка (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки до прямой L.

Решение: Расстояние d от точки до прямой L равно модулю проекции вектора , где – произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора . Следовательно,

 

Так как точка принадлежит прямой L, то , т.е. Поэтому

 

(10.13)

что и требовалось получить.

 

Пример 10.3. Найти расстояние от точки до прямой

 

Решение: По формуле (10.13) получаем

 

 

 

 

 

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и (см. рис. 46).

Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой .

О

Рис. 46.

Решение: Имеем (теорема о внешнем угле треугольника) или Если , то

Но , поэтому

 

(10.12)

 

 

откуда легко получим величину искомого угла.

 

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая – второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т.е.

Если прямые и параллельны, то и . Из формулы (10.12) следует , т.е. . И обратно, если прямые и таковы, что , то , т.е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .

Если прямые и перпендикулярны, то . Следовательно, . Отсюда , т.е. (или ). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .

 

 

Взаимное расположение прямых. Нахождение общих точек.

Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.

1. Пересекающиеся прямые

Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.

Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).

.

Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые

2. Параллельные прямые

На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).

Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.

3.Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.

На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).

.

Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых Рис. 3.6. Скрещивающиеся прямые

 

 

.