Анализ электрических цепей методом контурных токов

При выполнении п.1.2.2 курсовой работы нужно на графе цепи (рис.3) показать дерево – связную часть графа, которая содержит все узлы и не имеет контуров. Перечень ветвей дерева приводится в прил.1. и определяется вариантом задания. Затем сформировать матрицу основных контуров С,матрицу параметров Z, матрицы источников E и J.

В соответствии с матричной записью метода контурных токов

(1),

сформировать систему уравнений, подлежащую решению с целью определения токов в хордах (контурных токов). Также необходимо произвести проверку полученного результата, составив контрольную систему уравнений с помощью непосредственного анализа заданной цепи. Для этого перед составлением системы уравнений по методу контурных токов целесообразно эквивалентно заменить источники тока источниками напряжения .

На рис.7 представлено такое преобразование для случаев, когда в ветви действуют одновременно оба источника. При эквивалентном преобразовании напряжение и ток остаются неизменными в исходной и преобразованной схемах.

Вид преобразованной электрической цепи рассматриваемого варианта представлен на рис.8. Отметим, что условные положительные направления источников не обязательно совпадают друг с другом, а также с направлением тока ветви.

Рис.7. Преобразование источников тока

Выбор системы независимых контуров (контурных токов) удобно осуществлять с помощью дерева графа. Например, для иллюстративного варианта (рис. 4) с помощью множества ветвей дерева 1, 3, 5 (рис. 8,б). Каждому дереву соответствуют связи – ветви графа, дополняющие дерево до множества его ветвей. В примере это 2, 4, 6. Вообще, если в схеме узлов и ветвей, то число ветвей дерева , число связей .

Основные контуры - такие, в которые входит только одна связь, остальные - ветви дерева. Им соответствуют контурные токи , , (рис. 8,а). Номера контуров (контурных токов) выбраны в последовательности возрастания номеров их связей. Использовано удвоение подстрочных знаков для отличия контурных токов от токов ветвей. Условные положительные направления контурных токов выбираются обычно в соответствии с направлениями их связей. Заметим, что число контурных токов обычно равно .

а) б)

Рис.8. Схема с источниками напряжения - а, ее граф - б

Уравнения имеют следующий вид:

где собственные сопротивления контуров , , являются суммами сопротивлений ветвей, входящих в соответствующие контуры. Общие сопротивления контуров , , равны. Окончательный вид уравнений:

,

,

.

По найденным в результате решения системы контурным токам необходимо вычислить токи в пассивных элементах ветвей заданной схемы.

В ветвях схемы, совпадающих со связями дерева, токи равны контурным токам. Например, для схемы на рис. 8,а имеем:

, , .

В остальных ветвях схемы токи складываются алгебраически из контурных токов, проходящих через ветвь, с учетом источников тока. Знаки слагаемых определяются в зависимости от того, совпадают ли положительные направления контурных токов и токов ветвей (знак «плюс») или не совпадают (знак «минус»).

Для схемы на рис. 8,а имеем:

, , .

сопротивления контуров , , равны суммам сопротивлений ветвей, общих для соответствующих контуров, причем общее сопротивление контуров берется со знаком плюс (минус), если направления соответствующих контурных токов в общих ветвях совпадают (не совпадают). Контурные ЭДС , , определяются суммами ЭДС всех входящих в контур источников, взятых со знаком плюс (минус), если направление ЭДС совпадает (не совпадает) с направлением контурного тока. Контурные токи , , являются искомыми величинами.