Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса

Пусть функции непрерывны в промежутке и при равномерно стремятся к предельной функции

также непрерывной, а - функция с ограниченным изменением. Тогда

Доказательство:

По заданному найдется такое N, что при n
>
N
будет для всех x

Тогда в силу (21), для n
>
N

т.к. - произвольное, то теорема доказана.
Пусть функция непрерывна в промежутке , а функция - все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этих функций в их совокупности ограничены:

и при стремятся к предельной функции

то

Доказательство:

Докажем, что имеет ограниченное изменение. Разложим промежуток произвольным образом на части точками

Тогда для любого

Перейдем к пределу при

откуда и

Составим суммы Стилтьеса

Если предположить, что промежуток при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функции в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа , то, в силу оценки (22), при всех

С другой стороны, если разбиение фиксировать, то, очевидно, при , так что найдется такое N
, что для n
>
N будет

Тогда для тех же значений n
в силу (23) и (24) получаем:

Т.к. - любое, то теорема доказана.

Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса.

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями

в направлении от к , когда . Тогда точкам ( ), взятым на кривой для образования интегральной суммы, будут отвечать возрастающие значения параметра :

а выбранной на дуге точке – значение

( ). Сама же интегральная сумма, например, для первого из интегралов, напишется в виде

Эта интегральная сумма представляет собою стилтьесову сумму, так что криволинейный интеграл второго типа по самому определению отождествляется с частным случаем интеграла Стилтьеса:

Аналогично и

Отсюда следуют общие условия существования криволинейного интеграла (25); достаточно предположить функцию непрерывной, а функцию имеющей ограниченное изменение (п.3, ).

В частности, если кривая AB спрямляема, а функции P
(
x
,
y
) и Q
(
x
,
y
) непрерывны, то существует интеграл

Примеры.

№1 Вычислить по формуле
а)
б
) (s)

=

в)(s) =
№2 Вычислить по формуле
а)(S)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

скачок -2, при х=2

в остальных точках , т.к. g(x)=const

(S)

б
) (S)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=

скачок -2, при х=

в остальных точках , т.к. g(x)=const

(S)
№3 Вычислить по формуле При

При х=-1 и 0 функция испытывает скачок =1 => массы величины 1 в точках х=-1 и 0, в промежутке [-2,-1] непрерывно распределенные массы с плотностью 1, т.к. , в промежутке [0,2] непрерывно распределенные массы с плотностью 2х, т.к.

Список литературы

1. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.Москва 1960

2. http://www.phismat.ru/dif.php