Общие условия существования интеграла Стилтьеса

Определение интеграла Стилтьеса.

Стилтьес Томас Иоаннес (29.21.1856, Эволле-31.12.1894, Тулуза) нидерландский ученый математик и астроном, член Нидерландской академии наук, иностранный член-корреспондент Санкт-Петербургской академии наук по Физико-математическому отделению. Окончил Политехническую школу в Делфте. Работал на Лейденской обсерватории, с 1886 года преподаватель, затем профессор Университета в Тулузе. Научные исследования Стилтьеса в основном касаются теории функциональных непрерывных дробей, проблемы моментов, теории ортогональных многочленов, интегрального преобразования, приближенного интегрирования и других вопросов классического анализа. Обобщенное Стилтьесам понятие интеграла Г.Римана, предложенное в 1894 году, играет важную роль в современной математике.

Определяется интеграл Стилтьеса следующим образом.

Пусть в промежутке [a
,
b] заданы две ограниченные функции f
(
x
) и g
(
x
). Разложим точками

промежуток [a
,
b] на части и положим Выбрав в каждой из частей (i=0, 1,…,n-1) по каждой точке , вычислим значение f
( ) функции f
(
x
) и умножим его на соответствующее промежутку приращение функции g
(
x
)

Наконец, составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.

Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции f
(
x
) по функции g
(
x
) и обозначается символом

Чтобы особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение

Предел здесь понимается в том смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла.

Точнее говоря, число I называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число , что лишь только промежуток [a
,
b] раздроблен на части так, что , тотчас же выполняется неравенство

Как бы ни выбирать точки в соответствующих промежутках.

При существовании интеграла (3) говорят также, что функция f
(
x
) в промежутке [a
,
b] интегрируема по функции .

Единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве функции взята сама независимая переменная x:

Мы для определенности предполагали a<b; нетрудно аналогично рассмотреть и случай, когда a>b. Впрочем, он непосредственно приводится к предыдущему ввиду равенства

продолжение

Общие условия существования интеграла Стилтьеса.

Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограниченность, впрочем, предположением, что функция монотонно возрастает.

Отсюда следует, что при a<b теперь все , наподобие того, как раньше было . Аналогично сумма Дарбу, здесь целесообразно ввести сумм

где означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции f
(
x
) в i-ом промежутке . эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу - Стилтьеса.

При одном и том же разбиении , причем s и S служат точными границами для стилтьесовых сумм . Сами суммы Дарбу – Стилтьеса обладают следующими свойствами:

1-е свойство: Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу – Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма – разве лишь уменьшится.

2-е свойство: Каждая нижняя сумма Дарбу – Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.

Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу – Стилтьеса:
то оказывается, что

Наконец, с помощью сумм Дарбу – Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:

Теорема. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтоб было

или

если под понимать колебание функции f
(
x
) в i-ом промежутке .