Классы случаев существования интеграла Стилтьеса

Определение функции с ограниченным изменением:

Пусть функция f
(
x
) определена в некоторомконечном промежутке [a
,
b]. Разложим этот промежуток произвольным образом на части с помощью точек деления:

Из абсолютных величин приращений функции, отвечающих отдельным частичным промежуткам, образуем сумму

Если такие суммы в их совокупности ограничены сверху, то говорят, что функция f
(
x
) в промежутке [a
,
b] имеет ограниченное изменение ( или ограниченную вариацию). При этом точную верхниюю границу этих сумм называют полным изменением функции в указанном промежутке и обозначают символом

I. Если функция f
(
x
) непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса

существует.

Сначала предположим, что монотонно возрастает: тогда применим критерий предыдущего пункта. По произвольному заданию ввиду равномерной непрерывности функции f
(
x
) найдется такое , что в любом промежутке с длиной, меньшей , колебание f
(
x
) будет меньше . Пусть теперь промежуток [a
,
b] произвольно разбит на части так, что . Тогда все и

откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла.

В общем случаи, если функция имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: . В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции :

Так как каждая из сумм и при стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы , что и требовалось доказать.

Можно ослабить условия, налагаемые на функцию f
(
x
), если одновременно усилить требования к функции

II. Если функция f
(
x
) интегрируема в [a
,
b] в смысле Римана, а удовлетворяет условию Липшица:

(L=const., ), то интеграл существует.

Предположим, что функция не только удовлетворяет условию (6), но и является монотонно возрастающей.

Ввиду (6), очевидно, , так что

Но последняя сумма при и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции f
(
x
), а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).

В общем случаи функции удовлетворяющей условию Липшица (6), представим ее в виде разности

Функция , очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции , так как, в силу (6) , при

и

III
.Если функцияf
(
x) интегрируема в смысле Римана, а функция представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:

где абсолютно интегрируема в промежутке [a
,
b], то интеграл (5) существует.

Пусть , так что монотонно возрастает. Если интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена:

, то для имеем

Таким образом, в этом случаи удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу II.

Предположим теперь, что интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, например, b. Прежде всего, т.к. выберем так, чтобы было

где - общее колебание функции в рассматриваемом промежутке.

Разобьем промежуток [a
,
b] произвольным образом на части и составим сумму

Она распадается на две суммы из которых первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке а вторая – остальным промежуткам. Последнее содержатся в промежутке [b
- ,b],если только тогда, в силу (8),

С другой стороны, так как в промежутке функция интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом и сумма станет меньше . Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.

В общем случаи, когда функция абсолютно интегрируема в промежутке [a
,
b]:

неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как

то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.

Замечание. Пусть функция непрерывна в промежутке [a
,
b] и имеет, исключая лишь конечное число точек, производную , причем эта производная (если ее значения в точках, где она не существует, выбрать произвольным образом) интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от a до b; тогда имеет место формула типа (7):

Если абсолютно интегрируема, то к функции полностью приложимо изложенное в III.
продолжение