Тема 5. Дифференциальные уравнения

Задача 8.Решить уравнение у'−у tg x=−y²cos x.

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию у представим в виде произведения двух других функций: u=u(x) и υ=υ(х), то есть введем подстановку у= u·υ. Тогда у'=u'υ+uυ' и данное уравнение примет вид:

u'υ+uυ'− uυ tg x=− u² υ² cos x

или

υ(u'−u tg x)+ uυ'=− u² υ² cos x (1)

Выберем функцию u так, чтобы

u'− u tg x=0 (2)

При подобном выборе функции u уравнение (1) примет вид

uυ'==− u² υ² cos x или υ'=− u υ² cos x (3)

Решая (2) как уравнение с разделяющими переменными, имеем:

tg x d x, ln u=−ln cos x, u= .

Здесь производная постоянная С=0. Подставляя найденное значение u в уравнение (3), имеем:

.

Тогда у= u·υ= − общее решение данного уравнения.

Задача 9. Найти частное решение уравнения у''+4у=4sin2x-8cos2x, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у'(0)=0.

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения у_одн однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть

у = у_одн+ .

Для нахождения у_одн составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

у_одн= , (4)

где − комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) , , имеем: у_одн=

Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение = . Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение = .

Применяя эту теорему при , , имеем: =x(Acos2x+Bsin2x)

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим у'':

у''=(4В−4Ах) cos2x+(−4А−4Вх) sin2x.

Подставив в данное уравнение и у'', получим: 4В cos2x−4А sin2x=4 sin2x−8 cos2x,

откуда А=−1, В=−2.

Следовательно, =−х(cos2x+2sin2x) и

у= −х(cos2x+2sin2x).

Найдем у':

у'=−2С₁ sin2x+2С₂ cos2x- cos2x-2sin2x-х(−2sin2x+4 cos2x).

Используя начальные условия, получим систему

Следовательно, у= есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Тема 6. Ряды

Задача 10.Написать первыетри члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно n = 1, 2, 3, …, запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

.

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x, которые удовлетворяют неравенству , или , или .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при n→ ∞ . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит, принадлежит области сходимости данного ряда.

При данный ряд принимает вид . Это обобщенный гармонический ряд. Так как , то ряд сходится. Значит, при x = исходный ряд сходится.

Таким образом, - область сходимости данного ряда .

Задача 11.Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции sin x на , имеем:

Тогда

.

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

.