Тема 2. Дифференцирование функции

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

 

 

Тема 1. Введение в анализ

 

Задача 1. Вычислить пределы:

а) б)

 

в) г)

 

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х=−3 приводит к неопределенному выражению вида

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля при х :

= = =

= = ;

б) При выражение дает неопределенность вида − . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на ( ):

 

 

=

 

в) Обозначим . Тогда и при . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела имеем:

·

 

= ·1·1= ;

г) При выражение является неопределенностью вида 1^∞. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при величины и применим формулу второго замечательного предела:

.

 

Тогда имеем: =

 

Пусть 2х+1= −4у. Тогда 4х+5=−8у+3 и у − при . Переходя к переменной у, получим:

 

 

Тема 2. Дифференцирование функции

Задача 2.Найдите производные функции:

а) у=ln ;

б) у= ;

в) .

Решение: а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

у' = ' = '=

= ;

 

б) у'=

 

=4

 

=4 ;

 

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у' нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у':

 

−sin −sin

 

−y

 

Из последнего уравнения находим у':

2

Задача 3. Исследовать функцию у= и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:

1. Найдем область определения функции.

2. Исследуем функцию на непрерывность.

3. Установим, является ли данная функция четной, нечетной.

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6. Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=1.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах (−∞; 1) и (1; ∞).

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств = (тогда f(х) – четная функция) или = (для нечетной функции) для любых х и −х из области определения функции:

= , =−

 

Следовательно, и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

у'=

 

у'=0 при и у' − не существует при . Тем самым имеем две критические точки: Но точка не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5): (−∞; 0), (0; 1), (1; ∞).

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительная и данная функция возрастает. При переходе через точку первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точку функция имеет минимум: у_min=y(0)=−1. Значит, А(0; −1) − точка минимума.

На рис. 5 знаками +, −указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелами – возрастание и убывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

 

у''=−

 

 

Рис. 5

 

у''=0 при , и у''− не существует при . Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6): (−∞; − ), (− ; 1), (1; ∞). На первом интервале вторая производная у''=0, при − абсцисса точки перегиба.

Следовательно, В - точка перегиба графика функции.

Рис. 6

6. − точка разрыва функции, причем .

Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами:

, .

Тогда

,

.

 

 

Значит, прямая у=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.

 

 

Рис. 7

Задача 4. Найти приближенное значение функции при значении исходя из её точного значения при .

Решение: Известно, что дифференциал dy функции y=f(x) представляет собой главную часть приращения этой функции . Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то приращение приближенно равно дифференциалу, т. е. . Так как , а , то имеет место приближенное равенство: .

Пусть , Тогда

(1)

Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при , если известно значение функции и ее производной при .

Прежде чем воспользоваться приближенным равенством (1), находим численное значение производной при :

или ; .

Применяя (1), получаем .