Лекция 7. Производная функции. Правила дифференцирования

План лекции

7.1. Понятие производной, её механический и геометрический смысл.

7.2. Правила дифференцирования. Таблица основных производных.

7.3. Линейная функция и её свойства.

7.4. Прямая линия на плоскости.

7.5. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.

7.6. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой.

7.1

Задача 1. О скорости движущейся точки.Будем рассматривать прямолинейное движение некоторого твердого тела, которое будем считать материальной точкой. И пусть - закон движения тела, выражающий зависимость пройденного пути от времени, прошедшего с начала отсчета.

Пусть в некоторый элемент времени движущаяся точка находилась на расстоянии от начального положения , а в некоторый следующий момент времени оказалась в положении на расстоянии от начального положения. Таким образом, за промежуток времени расстояние S изменилась на величину . В этом случае говорят, что за промежуток времени величина S получила приращение . Тогда средняя скорость движения за время равна

.

Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки M в момент t. Однако, чем меньше , тем лучше средняя скорость характеризует движение точки. Наиболее точно характеризует скорость движения тела в любой момент – мгновенная скорость:

.

Задача 2. О нахождении наклона кривой в данной точке.Криволинейные связи, описываемые нелинейными функциями, отличаются от линейных постоянным изменением наклонам графиков нелинейных функций.

Возникает вопрос, как определить наклон в данной точке.

 

 

Рисунок 7.2.Нахождение наклона кривой в данной точке

Пусть задана некоторая кривая. Прямая CD - это хорда, соединяющая две точки на кривой.

С помощью очень коротких хорд подобных CD можно аппроксимировать кривую, и тогда наклон кривой в данной точке можно считать приблизительно равным наклону очень короткой хорды, проходящей через эту точку.

Пусть - две точки кривой, PD – хорда, EF – касательная к кривой в точке Р.

Наклон линии, соединяющей точки Р и D определяется по формуле

.

Предположив, что значения и вдоль прямой между точками С и D меняются очень мало, обозначим - очень малое приращение , - очень малое приращение . Тогда

.

Это отношение в действительности определяет наклон хорды PD, однако по мере приближения точки D к P величина наклона хорды PD приближается к наклону касательной. Хорда PD будет поворачиваться вокруг P и угол будет меняться с изменением .

Если при , угол стремится к некоторому предельному положению угла , то прямая, проходящая через точку Р и составляющая с положительным направлением ОХ угол будет касательной, т.е. наклон графика в точке равен наклону касательной в этой точке. Можем записать

.

B задачах 1 и 2 мы получили пределы одного вида, что позволяет ввести определение новой операции.

Если существует предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, то этот предел называется производной функции в данной точке и обозначается

.

Задача 1 позволяет сформулировать механический смысл производной – скорость прямолинейного движения есть производная пути по времени: .

Задача 2 позволяет сформулировать геометрический смысл производной. Угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке равен значению производной в точке касания.

Операция нахождения производной называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке отрезка , называется дифференцируемой на этом отрезке.

Рассмотрим порядок вычисления производной функции по определению:

1. Выбираем произвольную точку .

2. Придаем приращение аргументу : .

3. Определяем приращение функции .

4. Находим отношение .

5. Вычисляем .

6. Так как точка произвольная, то заменяя на в формуле для , получаем искомую производную функции в любой точке .

Пример 1. По определению найти производную функции в произвольной точке х.

Решение. Выбираем произвольную точку ; придаем приращение аргументу : ;

вычисляем приращение функции , тогда

.

Следовательно, .

Пример 2. Найти скорость равномерно ускоренного движения в произвольный момент времени t и в момент t = 2 сек., если зависимость пути от времени .

Решение. Выбираем произвольную точку ; придаем приращение аргументу: . Вычисляем приращение функции:

. Тогда скорость в произвольный момент времени будет равна

.

Скорость в момент времени t = 2 сек. соответственно будет

.

7.2

Вспомнимосновные правила дифференцирования:

1. Если то .

2. Если и – дифференцируемые функции, то

.

3. Если и – дифференцируемые функции, то

.

Следствие. Если , то .

4. Если и – дифференцируемые функции и , то

.

Следствие. Если , то .

5. Если , то .

6. Если – есть функция обратная к , то , где и .

Для удобства нахождения производных составим таблицу основных производных.

Пусть - дифференцируемая функция, тогда

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9.

10. ;

11. ;

12. ;

13. .

Производная функции представляет собой некоторую функцию. Возможно, что эта новая функция сама имеет производную. Тогда производная функции называется второй производной или производной 2-го порядка: .

И вообще, производная от производной (n-1)-го порядка называется производной n-го порядка: .

Пример 3. С помощью правил дифференцирования найдите производную функции .

Решение. Для удобства дифференцирования преобразуем функцию .

Тогда

.

7.3

Функция вида , где и некоторые действительные числа носит название линейной функции. Рассмотрим основные свойства этой функции.

1. Очевидно, что функция определена для любого действительного значения аргумента, т.е. .

2. При область значений , а при .

3. Функция пересекает ось в точке .

4. При график функции пересекает ось в точке ; если и , то график функции ось не пересекает; если , то график функции совпадает с осью абсцисс.

5. Если , то функция сохраняет знак . Если , то функция положительна при и отрицательна при . Если , то функция положительна при и отрицательна при .

6. Выведем производную функции .

· Выбираем произвольную точку .

· Придаем приращение аргументу : .

· Вычисляем приращение функции

· .

· Тогда .

· Следовательно, .

Таким образом, производная любой линейной функции равна угловому коэффициенту .

7. Если , то функция возрастающая. Если , то функция убывающая. При функция постоянная.

8. Графиком линейной функции является прямая (этот факт покажем в следующем пункте).

7.4

Линией на плоскости будем называть множество точек плоскости. Задать линию – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Это можно сделать при помощи уравнения с двумя неизвестными. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат.

Уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе координат называется уравнение вида , которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты точек, которые не лежат на этой линии.

Или можно сказать, что уравнение является уравнением некоторой линии при выполнении условий:

1. Если точка принадлежит линии, то координаты являются решением уравнения , то есть - верное числовое равенство.

2. Если пара чисел является решением уравнения, то точка принадлежит данной линии.

Простейшей линией на плоскости является прямая. Существуют различные способы задания прямой, это приводит к различным по форме уравнениям.

Пусть прямая не параллельна оси . Обозначим точку пересечения с осью , угол между положительным направлением оси и прямой обозначим через (Рисунок 7.3).

Пусть - произвольная точка прямой . Из прямоугольного :

.

Обозначим через : и назовем эту величину угловым коэффициентом прямой. Тогда ,

откуда

.(7.1)

Уравнение (7.1) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Замечание. Прямая, параллельная оси , не может быть задана уравнением с угловым коэффициентом.

Рассмотрим другие способы задания прямой линии на плоскости.

Прямая может быть задана вектором нормали (вектором, перпендикулярным прямой) и точкой , лежащей на прямой. Пусть - произвольная точка прямой. Тогда векторы и перпендикулярны, следовательно , или . Раскроем скобки и обозначим .

Уравнение вида

, (7.2)

где - заданные числа, причем , называется общим уравнением прямой. Из предыдущего следует геометрический смысл коэффициентов общего уравнения прямой.

Если , то уравнение (7.2) можно записать в виде , или, полагая , , получаем уравнение (7.1), то есть уравнение прямой, не параллельной оси . Если , то уравнение (7.2) принимает вид , где , или . Это уравнение на плоскости тоже задает прямую, но только параллельную оси . Таким образом, доказана теорема.

Теорема. Каждое уравнение первой степени на плоскости задает прямую, и, наоборот, каждая прямая на плоскости с прямоугольной системой координат определяется уравнением первой степени.

Заметим, что если в уравнении (7.2)

, то прямая параллельна оси ;

, то прямая параллельна оси ;

, то прямая проходит через ;

, то прямая совпадает с осью ;

, то прямая совпадает с осью .

 

Пусть в уравнении (7.2) , и . Преобразуем его: , разделим на : . Обозначим , , получим

. (7.3)

Уравнение (7.3) носит названиеуравнения прямой в отрезках, которое определяется тем, что и есть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат (Рисунок 7.4).

 

 

Рисунок 7.4. Уравнение прямой в отрезках.

 

Замечание. Прямые, параллельные координатным осям, и прямые, проходящие через начало координат, не могут быть записаны уравнением прямой в отрезках.

Если обе части общего уравнения прямой (7.2) умножить на число , которое называется нормирующим множителем, причем знак перед радикалом выбрать так, чтобы (при знак берем любой), то получится уравнение

, (7.4)

где , , .

 

 

Рисунок 7.5. Нормальное уравнение прямой.

 

Уравнение вида (7.4) носит название нормального уравнения прямой. С геометрической точки зрения - длина перпендикуляра , опущенного из начала координат на прямую, - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси (Рисунок 7.5).

Для построения прямой на плоскости достаточно двух точек – через две различные точки на плоскости можно провести прямую и только одну. Выведем уравнение прямой, проходящей через две различные точки и .

Пусть , тогда искомая прямая не параллельна оси , поэтому её угловой коэффициент может быть найден по формуле . С другой стороны, если взять - произвольную точку на прямой, то угловой коэффициент можно выразить по формуле . Следовательно, можем получить уравнение , или

. (7.5)

Замечание. Если , то формально получили бы равенство . Несмотря на его бессмысленность, такая запись удобна. Если освободиться от знаменателей, то получим верное равенство: , или . Аналогично случай приводит к уравнению .

Прямая на плоскости может быть также задана направляющим вектором и точкой , лежащей на этой прямой. Пусть - произвольная точка прямой. Тогда векторы и - коллинеарны, следовательно - уравнение искомой прямой. Последнее уравнение может быть переписано в виде или . Сопоставляя с общим уравнением прямой, получаем геометрический смысл его коэффициентов: , .

7.5

Углом между двумя прямыми и будем называть наименьший угол , на который надо повернуть прямую вокруг точки пересечения против часовой стрелки до ее совпадения с прямой .

Пусть на плоскости заданы две прямые уравнениями с угловым коэффициентом:

Из рисунка 7.6 , тогда

.

Рисунок 7.6. Угол между прямыми.

Учитывая смысл угловых коэффициентов прямой, получаем формулу для определения угла между прямыми:

. (7.6)

Если прямые и параллельны, то , следовательно, , то есть параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.

Если прямые и перпендикулярны, то , откуда , то есть , то есть угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Если прямые и заданы общими уравнениями и , то учитывая, что угол между прямыми совпадает с углом между векторами нормали к этим прямым, то можно указать следующую формулу для нахождения этого угла

. (7.7)

Тогда условие параллельности прямых

.

Условие совпадения прямых

.

Условие перпендикулярности прямых

.

Рассмотрим ещё одну задачу для прямой. Найдём расстояние от точки до данной прямой.

Пусть прямая задана нормальным уравнением

.

Проведем через точку прямую , параллельную . Тогда имеет уравнение , если и лежат по разные стороны от прямой (Рисунок 7.7), или , если и слежат по одну сторону от прямой (Рисунок 7.8).

Рисунок 7.7. Расстояние от точки до прямой.

Прямая проходит через точку , поэтому . Отсюда .

Учитывая, что расстояние всегда неотрицательная величина, получаем искомую формулу:

. (7.8)

Рисунок 7.8. Расстояние от точки до прямой.

Если прямая задана общим уравнением , то, учитывая связь общего уравнения с нормальным, получаем формулу для вычисления расстояния от точки до прямой:

. (7.9)

7.6

Исходя из геометрического смысла производной, найдём уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

Уравнение касательной к графику функции ищем в виде . Из геометрического смысла производной . Т.е. уравнение касательной ищем в виде . Эта прямая проходит через точку , поэтому , откуда , то есть или

.

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной к этой кривой в той же точке. Если , то учитывая условие перпендикулярности прямых, уравнение нормали имеет вид

.