Свойства пределов последовательностей

1. Последовательность, имеющая предел, ограничена.

2. Последовательность может иметь только один предел.

3. Любая неубывающая (невозрастающая) и ограниченная сверху (снизу) числовая последовательность имеет предел.

Рассмотрим числовую последовательность

. (6.1)

Эта последовательность возрастающая. Действительно, по формуле Бинома-Ньютона

,

Тогда имеем:

,

или

. (6.2)

С увеличением каждое слагаемое, кроме первого, увеличивается и возрастает число слагаемых. Следовательно, , т.е. последовательность возрастающая.

Покажем, что последовательность (6.1) ограничена сверху. Заменим во всех членах разложения (6.2) выражения в скобках на 1; тогда

.

Последняя сумма , начиная со второго члена, представляет собой геометрическую прогрессию. Тогда

.

Таким образом, показали, что последовательность (6.1) сверху ограничена числом 3, следовательно она имеет предел. Этот предел принято обозначать буквой :

.

Число является иррациональным, его приближённое значение . Число принято за основание натуральных логарифмов. Для отыскания приближенных значений натуральных логарифмов по таблицам десятичных логарифмов пользуются формулой, полученной из формулы перехода к новому основанию:

где

6.2

Число называется пределом функции при стремлении , или в точке , если для любого числа существует такое число , что , удовлетворяющих условию , имеет место неравенство

.

Таким образом, число есть предел функции в точке , когда для всех достаточно близких к и отличных от него, соответствующие им значения функции оказывается сколь угодно близкими к числу .

Геометрически это означает, что для всех точек , отстоящих от точки , не далее чем на , точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми .

Отметим, что - необязательно входит в область определения функции. Например: для функции , но предел функции в этой точка существует.

Характер стремления может быть различным. Если , оставаясь меньше его, то говорят о левостороннем пределе функции, обозначают . Если , оставаясь больше его, то говорят о правостороннем пределе функции, обозначают .

Число - называется пределом функции при стремлении , если существует такое положительное число , что для всех удовлетворяющих условию

При вычислении пределов пользуются следующими теоремами:

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной:

Теорема 2. Если функции и имеют пределы в точке , то в этой точке имеют пределы функции , а если , то имеет предел функция , причем

,

,

если

Следствие 1. Если существует то .

Следствие 2. .

Замечание. Все сформулированные теоремы и следствия справедливы и при .

Пример 1. Вычислить предел функции .

Решение. Для вычисления предела функции подставляем 1 вместо неизвестной, тогда . В этом примере предел функции в точке совпадает со значением функции в этой точке.

Покажем, как вычисляются пределы функции в точке, не входящей в область определения:

Пример 2. Найти предел функции .

Решение. При подстановке , получаем и в числителе и в знаменателе дроби 0, т.е. имеем дело с неопределённостью вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, после чего можно сократить выражения, которые давали нули и в числителе и в знаменателе:

.

Пример 3. Вычислить предел функции .

Решение. Вновь имеем дело с неопределённостью вида . Однако, учитывая, что в числителе дроби содержаться радикалы, для избавления от неопределённости будем домножать на сопряжённые выражения числитель и знаменатель дроби:

.

При нахождении пределов вида , где и - многочлены ой и ой степени, делим на старшую степень знаменателя. В результате выводим следующие правила:

· Если степень числителя больше степени знаменателя , то .

· Если степень числителя меньше степени знаменателя , то .

· Если степень числителя равна степени знаменателя , то равен отношению коэффициентов при старших степенях.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Так как степень числителя равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, т.е. .

6.3

В некоторых случаях для раскрытия неопределённостей используют «замечательные пределы». Для их доказательства используются довольно тонкие рассуждения. Мы воспользуемся лишь готовыми результатами.

Предел вида носит название первого замечательного предела.