Тема 7. Числовые последовательности. Пределы последовательностей и функций

2015-12-13

591

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒

Понятие числовой последовательности. Предел последовательности. Основные свойства сходящихся последовательностей. Признаки существования предела последовательности. Предел функции в бесконечности и в точке. Признаки существования предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Два замечательных предела. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Тема 8. Дифференциальное исчисление

Производная функции и дифференциал. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала, приложения производной в экономических расчетах. Правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. Правило Лопиталя. Точки экстремума, выпуклость и точки перегиба функции. Асимптоты. Общая схема исследования функций. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Тема 9. Неопределенный и определенный интегралы

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, иррациональных и тригонометрических выражений. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов. Приложения определенного интеграла.

*Примечание: занятие проводится в форме проблемной лекции, использование техники обратной связи посредством решения вместе со студентами нестандартных задач с подробным разбором особенностей применяемых методик.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Тема 10. Ряды

Понятие числового ряда. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда. Понятия функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Тема 11. Функции нескольких переменных

Понятия евклидова пространства и функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Частные производные функции и полный дифференциал. Производная по направлению, градиент функции. Экстремумы функции многих переменных, необходимое и достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Нахождение условного экстремума методом множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов. Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному. Геометрическая интерпретация и приложения двойного интеграла.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Тема 12. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основные понятия. Краевая задача и задача Коши. Общие подходы к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

*Примечание: занятие проводится в форме лекции с использованием техники обратной связи посредством решения студентами в конце лекции тестов по лекционному материалу.

Формируемые компетенции: ОК-15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

для очной формы обучения

Семинар 1 (тема 1)

1. Повторение материала темы.

2. Заданы матрицы A и B

Указать, какие операции над матрицами выполнимы, и осуществить эти операции:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ;

k) Найти матрицу C= 6A-3B и матрицу ;.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 2 (тема 1)

1. Задана матрица

Найти матрицы и

2. Вычислить определители матриц

, ,

*Примечание: занятие проводится в форме исследования с образованием несколько подгрупп для решения задач по тематике занятия; коллективный обмен результатами работы и анализ выявленных типичных ошибок.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 3 (тема 1)

1. Решить уравнения

=0, =0.

2. Найти ранги матриц

, , .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 4 (тема 1)

1. Привести матрицы к ступенчатому виду

2. Найти максимальное число линейно независимых строк матриц, приведенных в п.1.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 5 (тема 1)

1. Найти матрицы, обратные заданным матрицам A и B, построением присоединенной матрицы

, ,

2. Найти матрицы, обратные заданным выше матрицам A и B, методом элементарного преобразования строк

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 6 (тема 1)

Заданы матрицы

Найти собственные значения и собственные векторы матриц

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 7 (тема 2)

1. Повторение материала темы.

2. Решить систему уравнений по формулам Крамера

, .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 8 (тема 2)

Записать систему уравнений из Семинара 7 в матричном виде и решить ее как матричное уравнение.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 9 (тема 2)

Решить систему уравнений методом Гаусса

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 10 (тема 2)

Решить систему уравнений из Семинара 9 методом LU- разложения, сравнить трудоемкость вычислительных процедур.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 11 (тема 2)

Решить системы уравнений относительно параметра

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 12 (тема 2)

Найти общее решение систем уравнений

*Примечание: занятие проводится в форме исследования с образованием несколько подгрупп для решения задач по тематике занятия; коллективное обсуждение результатов выполненного исследования с анализом выявленных типичных ошибок; проверка знаний в форме тестирования.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 13 (тема 2)

Найти общее решение систем уравнений

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 14 (тема 2)

Найти решение систем уравнений с матрицами специального вида (трехдиагональными). Сравнить прямой метод Гаусса и метод прогонки

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 15 (тема 3)

1. Повторение материала темы.

2. Является ли система векторов линейно независимой

а) , , ; б) , , .

Если система векторов является линейно независимой, то выразить нижеприведенный вектор в базисе данных векторов

3. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор трехмерного линейного пространства в вектор , причем

, .

а) , б) .

4. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор двумерного линейного пространства в вектор по следующему правилу:

а) Симметричное отображение относительно прямой .

б) Симметричное отображение относительно прямой , а затем симметричное отображение относительно начала координат.

в) Удвоение значения первой координаты, а затем симметричное отображение относительно прямой .

г) Симметричное отображение относительно прямой , а затем симметричное отображение относительно прямой .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 16 (тема 3)

1. Определить косинус угла между векторами и , принадлежащими трехмерному евклидову пространству с ортонормированным базисом

а) , ; б) , .

2. Написать уравнения касательных к параболе , проходящих через заданную точку плоскости . Составить уравнения нормалей к касательным, построенных в указанной точке .

3. Дана прямая 2x+5y-1=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-1,3) : а)параллельно данной прямой; б) перпендикулярно данной прямой.

4. Через вершины треугольника А(-1,2), В(3,-1) и С(0,4) проведены прямые параллельно противолежащим сторонам. Составить их уравнения.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 17 (тема 3)

1. Две стороны квадрата лежат на прямых 3x+4y+22=0, 3x+4y-13=0. Вычислить площадь квадрата.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x -3y+5=0, 3x+y-7=0 перпендикулярно к прямой y=2x.

3. Найти площадь треугольника, заданного координатами своих вершин А(1,2), В(3,8), С(6,1).

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 18 (тема 3)

1. Составить уравнения плоскости, проходящей через точку М(4, -4, 2) и параллельной плоскостям: x0z., x0y, y0z.

2. Плоскость проходит через ось 0z и образует с плоскостью 2x+y- z=0 угол . Составить ее уравнение.

3. Найти уравнение нормали, проходящей через начало координат, к плоскости . Написать уравнение плоскости в виде уравнения плоскости, проходящей через точку ее пересечения с указанной нормалью.

*Примечание: занятие проводится в форме организационно-деятельностной игры с разбиением группы на подгруппы и постановкой для 2-3-х подгрупп одинаковой задачи с последующим выбором в ходе коллективного обсуждения оптимального способа решения.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 19 (тема 4)

1. Повторение материала темы.

2. Заданы комплексные числа

и .

а) Найти и изобразить на комплексной плоскости числа

, , .

б) Записать комплексные числа в тригонометрической и экспоненциальной формах.

Найти и изобразить на комплексной плоскости числа

, , , , , .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 20 (тема 4)

1. Найти все значения , .

2. Вычислить

, , .

3. Решить уравнения

, .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 21 (тема 5)

1. Повторение материала темы.

2. Отметить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих системе неравенств

Сформулировать выводы относительно характера решений

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 22 (тема 5)

В указанной ниже задаче требуется

1) Сформулировать задачу как задачу линейного программирования.

2) Найти решение задачи графическим методом.

Автотранспортное предприятие проводит закупку автобусов двух типов А и Б в количестве не более M машин, которые должны обеспечить одновременную перевозку не менее N пассажиров. Стоимость автобуса типа А - тыс. рублей, стоимость автобуса типа Б - тыс. рублей. Количество пассажиров, которое может разместиться в одном автобусе типов А и Б, равно и , соответственно. Сколько надо закупить автобусов каждого типа, чтобы минимизировать расходы?

M=20; N = 1500; =800; =300; = 100; =60.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 23 (тема 5)

В указанной ниже задаче требуется

1) Сформулировать задачу как задачу линейного программирования.

2) Найти решение задачи графическим методом.

В ходе выборов кандидата для достижения успеха необходимо охватить теле- и радиорекламой не менее N тысяч человек (с повтором). Известно, что одна 30- секундная телереклама будет просмотрена n тысячами избирателей, одна 30- секундная радиореклама будет услышана m тысячами избирателей. Стоимость трансляции одного телефрагмента составляет 500$, а одного радиофрагмента - 100$. Всего планируется занять не менее t минут эфирного времени. Сколько теле- и радиофрагментов следует транслировать, чтобы минимизировать расходы.

N=720, n=24, m=4, t=40.

*Примечание: занятие проводится в форме исследования с образованием несколько подгрупп для решения задач по тематике занятия; коллективный обмен результатами и анализ выявленных типичных ошибок.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 24 (тема 5)

В указанной ниже задаче требуется

1) Сформулировать задачу как задачу линейного программирования.

2) Найти решение задачи графическим методом.

При откорме кроликов можно использовать корм с высоким содержанием белка по цене 0.8 у.ед./кг или более дешевый корм по цене 0.4 у.ед./кг. Килограмм дорогого корма дает 125 г белка и 4500 калорий, а дешевого – 50 г белка и 7500 калорий. Одному кролику в неделю требуется не менее 100 г белка и 4500 калорий. Найти самую дешевую смесь кормов, удовлетворяющих требованиям питательности.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 25 (тема 5)

Сформулирована следующая транспортная задача линейного программирования.

Пусть имеется:

- три пункта отправления – города , в которых сосредоточены запасы некоторого товара соответственно в количестве ;

- три пункта назначения – города , в которых сосредоточены потребители товара, желающие получить его в количестве ;

- сумма заявок всех городов – потребителей товара равна суммарному количеству товара, имеющегося в городах – поставщиках товара, т.е.

- известна стоимость перевозки одной единицы товара из пункта отправления в пункт назначения , т.е. задана матрица стоимостей перевозок

Требуется составить такой план перевозок, при котором весь имеющийся запас товара будет вывезен из городов- поставщиков товара, все заявки городов – потребителей удовлетворены, а стоимость перевозок всего товара, который перевозится от поставщиков к потребителям, будет минимальной.

Дать математическую формулировку задачи.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 26 (тема 5)

Для задач семинаров 22-25 построить двойственную задачу. Выяснить содержательную сторону сформулированных задач.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 27 (тема 6)

1. Повторение материала темы.

2. Определить области существования и области значений следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д); е) ; ж) .

3. На какое множество отображает множество функция

а) ; б)

в) ; г) .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 28 (тема 6)

1. Пусть функция определена при . Найти область определения функций

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Найти:

а) , если ; б) , если ;

г) , если .

3. Построить графики функций

а) , ; б) , приведя ее к виду ;

в) - трезубец Ньютона; г) - кривая Аньези.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 29 (тема 7)

1. Повторение материала темы.

2. Вычислить пределы

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 30 (тема 7)

1. Вычислить пределы

а) ; б) ; в) ; г) .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 31 (тема 8)

1. Повторение материала темы.

2. Найти первую и вторую производные функций:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 32 (тема 8)

Найти первую и вторую производные функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 33 (тема 8)

Написать уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке

а) , ; б) , .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 34 (тема 8)

Написать уравнение касательной к графику функции , проходящей через заданную точку

а) , ; б) , ;

в) , ;

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 35 (тема 8)

Исследовать функции и построить их графики

а) ; б) .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 36 (тема 8)

Исследовать функции и построить их графики

а) ; б) ; в); .

Формируемые компетенции: ОК-13, ПК- 5.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 37 (тема 9)

1. Повторение материала темы.

2. Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 38 (тема 9)

Найти неопределенные интегралы методом замены переменной

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 39(тема 9)

Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 40 (тема 9)

Найти неопределенные интегралы от рациональных дробей

а) ; б) .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 41 (тема 9)

Найти площади фигур, ограниченных следующими кривыми

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 42 (тема 9)

Вычислить несобственные интегралы

а) ; б) ; в) ,

г) ; д) ; е) .

*Примечание: занятие проводится в форме исследования с образованием несколько подгрупп для решения задач по заданной тематике; коллективное обсуждение результатов с анализом выявленных типичных ошибок.

Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.

Семинар 43 (тема 10)

1. Повторение материала темы.

2. Доказать непосредственно сходимость рядов и найти их суммы

а) б)