Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов

Пусть = ( ); = ( );

‒ формула для вычисления смешанного произведения.

Пример:

Дано: ABCD – тетраэдр. A (– 2; 3; – 4) B (3; – 1; 5) C (4; – 4; 2) D (5; 7; 1) Найти: 1) ABC 2) Уравнение BCD 3) VABCD

Решение:

1)

2)

│: 2

– уравнение BCD.

3)

кубических единиц.

Теорема. Признак компланарности векторов.

Для того чтобы векторы , были компланарны, необходимо и достаточно чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е.

,

т.к. объем V_{параллелепипеда} = 0 (векторы , в одной плоскости).

Пример: Проверить компланарны ли три вектора

= {1; 1; 1}, = {1; 3; 1}, = {2; 2; 2}.

Решение: найдем смешанное произведение векторов.

· [ × ] =

Ответ: вектора компланарны, так как их смешанное произведение равно нулю.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пусть плоскость проходит через точки М₁ = ( ), М₂ = ( ) и М₃ = ( ), не лежащие на одной прямой и М (x, y, z) – произвольная точка плоскости.

Векторы , и ‒ компланарные, т.к. находятся в одной плоскости. Следовательно,

· · = 0.

Запишем это равенство в координатной форме:

‒ уравнение плоскости проходящей через три данные точки.

Понятие векторного (линейного) пространства. Вектор в n‒ мерном пространстве.

n ‒ мерным вектором называется упорядоченная совокупность n ‒ действительных чисел, записываемых в виде:

= ( , , …, ),

где ‒ i‒ компонента вектора = .

Для n ‒ мерных векторов имеют место операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие следующим свойствам:

1. + = + – коммутативность;

2. + ( + ) = ( + ) + – ассоциативность;

3. l( = (l ) – ассоциативность;

4. l ( + ) = l + l – дистрибутивность;

5. + (‒ ) = .

Линейным векторным пространством называется совокупность n ‒ мерных векторов с действительными компонентами, удовлетворяющих приведенным выше свойствам.

Размерность и базис векторного пространства.

Вектор называется линейной комбинацией векторов , , …, , если для любых чисел , , …, , не равных нулю одновременно, выполняется равенство:

= · + · + … + ·

Векторы , , …, , называются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равняется нулевому вектору.

· + · + … + · = (1)

В противном случае векторы называются линейно независимыми, т. е. равенство (1) выполнится только для = = … = = 0.

Совокупность линейно независимых векторов векторного пространства R называется его базисом, а их количество называется размерностью векторного пространства.

Если в векторном пространстве Rимеется nлинейно независимых векторов, то размерность этого пространства обозначается dimR = n, dim – размерность (dimension).

Векторное пространство размерности n обозначается .

Теорема.Если векторы , , … , образуют базис векторного пространства , то любой вектор , можно единственным образом разложить по этим векторам:

= + + … + .