Свойства определителей

1. Определитель равен нулю, если содержит:

- нулевую строку или нулевой столбец;

- две одинаковые строки (столбца);

- две пропорциональных строки (столбца).

Пример:

= 0; = 0; = 0; III = I × (-3).

 

2. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Пример:

= 2× = 2×(30+24+4‒24+8+15) = 2×57= 114.

 

3. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца) умноженные на одно число.

Пример:

I × 5 + II; I × (‒2) + III; I × (‒ 4) + IV;

= = 1×(–1)¹⁺³× .

Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица.

 

Матрица А^-1называется обратной к матрице A, если при умножении ее на матрицу A, как справа, так и слева, получится единичная матрица.

А^-1×A=A× А^-1=E

 

Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен 0, и называется вырожденной, если ее определитель равен 0.

Теорема.

Обратная матрица А^-1существует только тогда, когда матрица невырожденная, т.е. |A| ≠ 0.

Алгоритм нахождения.

1. Найти определитель матрицы А.

Если │A│= 0, то обратная матрица не существует, если │A│≠ 0, то перейти ко второму шагу.

2. Найти матрицу A^T, транспонированную к матрице А.

3. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы A^T и составить из них матрицу Ã, которая называется присоединенной.

 

à =

 

4. Обратную матрицу найти по формуле:

5. Сделать проверку А^-1 × A = E

 

Решение матричных уравнений.

Матричное уравнение имеет вид:

A × Х= B

Умножим обе части уравнения на матрицу А^-1 слева:

А^-1× A ×Х = А^-1 × В.

Так как А^-1×А=Е, то Е×Х = А^-1×В.

Так какЕ × Х=X, то Х= А^-1×В

Пример:

Дано:

А = ;

В = ;

Найти:

X ‒?

Решение:

1) │А│=

2) A^T= .

3)

Ã= .

4) А^-1 = × Ã = × =

Х= А^-1× B =

Ответ:

Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы.

 

Рангом матрицы называется наивысший порядок не равных нулю миноров этой матрицы.

 

Обозначается rang (A) или r (A).

Теорема 1. Ранг матрицы не превосходит наименьшего из ее размеров.

r(A) ≤ min (m; n)

Пример:

А_2×3 = ;

r (A) ≤ min (2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r (A) ≤ 2.

= 3 + 24 = 27 ¹ 0; =>r (A) = 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема 2. Ранг квадратной матрицы n-го порядка равен ее порядку, если она не вырожденная.

Примеры:

1)А_3×3 = ; r (A) ≤ 3.

 

│А│= = 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6 ¹ 0 матрица не вырожденная r (A) = 3.

 

2)А_3×3 = ; │А│= 0, т.к. III = I × (– 3) r (A) < 3.

= 0 + 5 = 5 ¹ 0 r (A) = 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Элементарные преобразования матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1. Изменение порядка строк (столбцов).

2. Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

3. Умножение элементов любой строки (столбца) на одно число.

4. Прибавление к элементам любой строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно число.

Системы линейных алгебраических уравнений СЛУ (Основные понятия и определения).

1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:

2. Решением системы уравнений (1) называется совокупность чисел x₁, x₂, … , x_n, обращающая каждое уравнение системы в тождество.

 

3. Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной.

 

4. Система уравнений (1) называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если у нее более одного решения.

 

5. В результате элементарных преобразований система (1) преобразуется к равносильной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений).

К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относятся:

 

1. Отбрасывание нулевых строк.

2. Изменение порядка строк.

3. Прибавление к элементам любой строки элементов другой строки, умноженных на одно число.