Решение задач раздела I

1.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

 

2.

10)

11)

12)

13)

 

3.

1)

2)

3)

4)

5)

4.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

5.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

6.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

7.

1) О.О.Ф. xÎR; для всех x Î R. Ответ: критических точек нет.

2) О.О.Ф. xÎR; Î О.О.Ф.

Ответ: .

3) О.О.Ф. xÎR; D = 16 + 84 = 100>0; Î О.О.Ф., Î О.О.Ф. Ответ: ,

4) О.О.Ф. xÎR;
D = 1+8=9>0; Î О.О.Ф., Î О.О.Ф. Ответ: ,

5) О.О.Ф. x¹0;

При х = 0 не существует. х = 0 Ï О.О.Ф. Ответ: критических точек нет.

6) О.О.Ф. 2х - х² ³ 0; х(2-х)³0 Þ 0£ х£ 2.

При х = 1 =0. При х = 0 и х = 2 не существует.

х₁ = 1 Î О.О.Ф., х₂ = 0 Î О.О.Ф., х₃ = 2 Î О.О.Ф. Ответ: х₁ = 1, х₂ = 0, х₃ = 2.

8.

1) О.О.Ф.: хÎR; для всех хÎR.

Ответ: возрастает для всех хÎR.

2) О.О.Ф.: хÎR; ÎО.О.Ф.

Ответ: убывает на (-¥; 2)

возрастает на (2; +¥)

3) О.О.Ф.: хÎR; D=16+84=100>0; х₁ = -7/3 Î О.О.Ф., х₂ = 1 Î О.О.Ф.

Ответ: возрастает на (-¥; -7/3), (1; +¥)

убывает на (-7/3; 1)

4) О.О.Ф.: х¹ 1;

При х = 1 не существует х = 1 ÎО.О.Ф.

Ответ: убывает на (-¥; 1), (1; +¥)

5) О.О.Ф.: 0£х£6.

При х = 3ÎО.О.Ф. =0. При х = 0ÎО.О.Ф., х = 6ÎО.О.Ф. не существует.

Ответ: возрастает на (0; 3),

убывает на (3; 6).

9.

1) О.О.Ф.: хÎR;

ÎО.О.Ф.

х_min= 2; у_min = y(x_min) = у(2) = 2²-4×2+3=4-8+3=-1.

Ответ: х_min= 2;

у_min = -1.

2) О.О.Ф.: хÎR;

ÎО.О.Ф.

х_max= 3; у_max = y(x_max) = у(3) = 7+6×3-3²=7+18-9=16

Ответ: х_max= 3;

у_max = 16

3) О.О.Ф.: хÎR;

ÎО.О.Ф.

х_max= -2; у_max = y(x_max) = у(-2) = (-2)³-12×(-2)=-8+24=6

х_min= 2; у_min = y(x_min) = у(2) = 2³-12×(2)=8-24=-6.

Ответ: х_max= -2; у_max =6

х_min= 2; у_min =-6.

4) О.О.Ф.: хÎR;

ÎО.О.Ф

х_min= 1; у_min = y(x_min) = у(1) = 3×1⁴-4×1³=3-4=-1.

Ответ: х_min= 1; у_min =-1.

5) О.О.Ф.: хÎR;

х₁ =-3ÎО.О.Ф., х₂ =1ÎО.О.Ф

х_min= -3; у_min = y(x_min) = у(-3) = -(-3)³-3(-3)²+9(-3)-1=27-27-27-1=-28;

х_max= 1; у_max = y(x_max) = у(1) = -(1)³-3(1)²+9(1)-1=-1-3+9-1=4.

Ответ: х_min= -3; у_min =-28;

х_max= 1; у_max = 4.

6) О.О.Ф.: х²-2х³0, х(х-2)³0 Þ х Î (-¥; 0] È [2; +¥).

х = 1 Ï О.О.Ф.

Ответ: экстремумов нет.

10.

1) О.О.Ф.: хÎR; критических точек нет.

– наибольшее значение

– наименьшее значение.

Ответ:

2) О.О.Ф.: хÎR; критических точек нет.

для всех хÎR Þ f(x) возрастает на [-2; 3).

– наименьшее значение.

Наибольшее значение данная функция не достигает.

Ответ:

3) О.О.Ф.: хÎR; критических точек нет.

для всех хÎR Þ f(x) убывает на [-1; 2).

– наименьшее значение.

Наибольшее значение данная функция не достигает.

Ответ:

4) О.О.Ф.: хÎR;

Î О.О.Ф.

х_тах = 0 – единственная точка экстремума.

– наименьшее значение;

Ответ:

5) О.О.Ф.: хÎR;

Ï [-1; 0].

f(-1)=4×(-1)+(-1)²=-4+1=-3 – наименьшее значение;

f(0)=4×(0)+(0)²=0 – наибольшее значение.

Ответ:

6) О.О.Ф.: хÎR;

х = 1 Î [0; 3]; x = -1 Ï [0; 3].

f(1)=1-3=-2 – наименьшее значение;

f(0)=0;

f(3)=27-9=18 – наибольшее значение.

Ответ:

11.

 

О.О.Ф. площади: .

ÎО.О.Ф.

х_тах = 10 – единственная точка экстремума.

Стороны прямоугольника: х = 10, у = 20-10=10.

Ответ: квадрат со стороной 10.

Ответы к задачам раздела II.

1.

1) ;

 

2)

3)

4)

5)

6) ;

7)

8)

9) .

2.

1) 2) 3) 4) .

3.

1) 2) 3) 4) 5) .

4.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) .

5.

1)

 

1)

2)

3)

4)

5) .

6.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) .

7.

1) Критических точек нет;

2) {2,5};

3) {-5/3; 1};

4) {-3; 2};

5) критических точек нет;

6) {0; 2; 4}.

8.

1) возрастает на (-¥; +¥);

2) убывает на (-¥; 3),

возрастает на (3; +¥);

3) возрастает на (-¥; -5/3), (1; +¥),

убывает на (-5/3; 1);

4) убывает на (-¥; 2), (2; +¥);

5) возрастает на (-¥; 5),

убывает на (5; +¥).

9.

1) x_min = 3, y_min = -4;

2) x_max = 4, y_max = 25;

3) x_min = -1, y_min = -4,

x_max = 1, y_max = 4;

4) x_min = -1, y_min = -1;

5) x_min = 1, y_min = 2,

x_max = , y_max = ;

6) экстремумов нет.

10.

1) ,

;

2) ,

наименьшего нет;

3) ,

наименьшего нет;

4) ,

;

5) ,

;

6) ,

.

Квадрат со стороной 9.