Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

1. Найти О.О.Ф.

2. Найти в О.О.Ф.

3. Найти критические точки в О.О.Ф.:

4. а).в которых выполняется равенство ;

5. б) в которых не существует.

6. Изобразить на числовой оси О.О.Ф. и все ее критические точки.

7. Определить интервалы знакопостоянства производной в каждом из промежутков на которые критические точки разбивают О.О.Ф.

8. На основании достаточных условий экстремума сделать заключение о экстремуме функции в каждой из указанных в п.3 критических точках.

9. Найти значения функции в критических точках внутри промежутка и на концах промежутка (если это числа).

10. Из всех найденных значений в п.7 выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Пример 21. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 2].

Решение. О.О.Ф.: х Î R;

х₁ = -1, х₂ = 3 – критические точки; x₁ = -1 Î [-2; 2], x₂ = 3 Ï [-2; 2].

х₁ = -1 – единственная критическая точка на [-2; 2].

у(-1)=(-1)³-3(-1)²-9(-1)+2=-1-3+9+2=7 (наибольшее);

у(2)= (2)³-3(2)²-9×(2)+2=8-12-18+2=-20 (наименьшее);

у(-2)= (-2)³-3×(-2)²-9×(-2)+2=-8-12+18+2=0. Ответ:

Пример 22. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [1; 3).

Решение. О.О.Ф.: x Î R;

х₁ = 0, х₂ =-1 – критические точки.

на [1; 3).

На промежутке [1; 3) данная функция убывает:

у(1) = -2×(1)³ -×3(1)² + 4 = -2-3+4 = -1.

Наибольшее значение функция достигает на левом конце промежутка:

.

Наименьшее значение в промежутке [1; 3) функция не достигает, так как точка х =3 не принадлежит этому промежутку.

Ответ:

Пример 23. Требуется огородить проволочной сеткой длины 32 м прямоугольный участок, прилегающий к стене. Найти размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей.

Решение. Обозначим стороны прямоугольника через АВ = СD = x, BC = AD = y. Тогда его площадь S = xy.

Так как 2х + у = 32, получим Тогда . Найдем О.О.Ф. площади:

.

Найдем наибольшее значение функции S на интервале (0; 16).

х = 8 – единственная критическая точка.

х = 8 – единственная точка максимума, значит

.

Размеры участка: ширина – х = 8; длина – у = 32-16=16.

Ответ: 8 м и 16 м.

Задачи раздела I.

1. Найти производную функции в точке x₀:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

2. Найти производную функции, предварительно приведя ее к виду kx^m(mÎZ).

1) 3)

2) 4)

3. Приведя функцию к к виду kx^a(aÎQ) найти ее производную.

1)

2)

3)

4)

5)

4. Используя формулу производной от суммы найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

5. Используя формулы производной произведения или частного, найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

6.Используя правило дифференцирования сложной функции, найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

7. Найти критические точки функции:

 

1)

2)

3)

4)

5)

6)

8. Найти промежутки возрастания и убывания функции:

1)

2)

3)

4)

5)

9. Найти точки экстремума и экстремумы функции.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

1) на [-3; 2]

2) на [-2; 3)

3) на (-1; 2]

4) на [-2; 1]

5) на [-1; 0]

6) на [0; 3]

11. Периметр прямоугольника равен 40. Найти его стороны, при которых его площадь будет наибольшей.

Задачи раздела II.

1. Найти производную функции в точке x₀:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

2. Найти производную функции, предварительно приведя ее к виду kx^m(mÎZ).

1)

2)

 

3)

4)

3. Приведя функцию к к виду kx^a(aÎQ) найти ее производную.

1)

2)

3)

4)

5)

4. Используя формулу производной от суммы найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

5. Используя формулы производной произведения или частного, найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

6.Используя правило дифференцирования сложной функции, найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

 

7. Найти критические точки функции:

 

1)

2)

3)

 

4)

5)

6)

8. Найти промежутки возрастания и убывания функции:

1)

2)

3)

4)

5)

9. Найти точки экстремума и экстремумы функции.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

1) на [-3; 2]

2) на [-2; 3)

3) на (-1; 2]

4) на [-2; 1]

5) на [-1; 0]

6) на [0; 3]