Граничные условия Леонтовича

1.Реальный проводник. Направим ось z в сторону («вглубь») проводника (рис 3-55). В этом случае «обобщенное» уравнение (146) для проводящей среды (среда 2) запишется со знаком минус при множителях, определяющих затухание волны и направление распространении волны (направление волнового вектора k₂)

= .

Запишем комплексные амплитуды для каждого из векторов E и Hв явном виде:

= , = .

В этих уравнениях и - комплексные амплитуды на границе раздела сред (индекс «0»). Вектор Пойнтинга П₂ = [E₂, H₂] направлен в объем проводника, и энергия электромагнитного поля переходит во внутреннюю энергию проводника с выделением тепла.

Компоненты векторовE и H в реальном проводнике определяются соотношениями (151) и (152)

= ,

= -

На границе раздела сред (z = 0) имеем соотношения

= ,

= -

В реальном проводнике с большой, но конечной проводимостью касательная составляющая ¹ 0. Кроме того, из граничного условия для касательной составляющей имеем

= .

Несмотря на малость величины (волновое сопротивление проводящей среды мало), касательная составляющая определяет поток электромагнитной энергии в объем проводника П₂ с выделение тепла в проводнике.

Коэффициент затухания в проводящей среде a₂ имеет смысл обратной величины расстояния l₀ , на которой амплитуда электромагнитной волны уменьшается в e = 2,7 раз. В проводящей среде a » (§ 3.6.2, пункт 2.Б), поэтому

l₀ = = . (153)

С ростом частоты w электромагнитной волны, проводимости g и магнитной проницаемости m проводника глубина проникновения l₀ уменьшается. Например, при частоте f = 1МГц глубина проникновения электромагнитной волны в медь и серебро l₀ » 6,5×10^-5 м = 6,5×10^-2 мм, а при частоте f = 1,6 ГГц l₀ » 6,5×10^-4 мм.

Плотность тока на поверхности проводника направлена по оси x и определяется законом Ома:

j_x = g₂ .

Таким образом, амплитуда тока убывает с глубиной проникновения электромагнитного поля по закону

új_x0ê = úg₂ ê .

Это явление убывания тока называется поверхностным эффектом в проводниках в поле электромагнитной волны.

2.Идеальный проводник. Идеальным проводником считается среда, проводимость которой g = ¥ (удельное сопротивление r = 0). В соответствии с (153) глубина проникновения l₀ = 0, и в объеме идеального проводника электромагнитная волна отсутствует(E₂ = 0, H₂ = 0).

Граничные условия для переменного магнитного поля на поверхности S проводника:

H _01t = j_0S (т.к. H₂ = 0),

где j_0S - поверхностная плотность тока на единице Dx = 1м.

Граничные условия для переменного электрического поля на поверхности S проводника:

D_01n = s или e₁e₀ E_01n = s;

где s - плотность заряда на поверхности проводника.

Из граничных условий непосредственно следует, что на поверхности проводника E_01t = 0; H_01n = 0,

так как в идеальном проводнике электромагнитное поле отсутствует (E_2t = 0, H_2n = 0).

3.Приближенное граничные условия Леонтовича.Вернемся к рис. 3-55, где координатная плоскость x0y совпадает с плоскостью раздела сред. В проводящей среде угол преломления близок к нулю (f = 0). В этой связи, приближенно можно считать, что векторы E и H в этой среде имеют компоненты только по осям x и y:

E_x2 и E_y2; H_x2 и H_y2.

Компоненты векторовE и H в реальном проводнике на границе раздела сред определяются соотношениями

= ,

= -

Приравнивая касательные составляющие, получим:

= , (154)

= - (155)

Соотношения (154) и (155) есть граничные условия Леонтовича, связывающие касательные составляющие векторов E и Hв первой среде (диэлектрике) с волновым сопротивлением второй среды (проводника). Условия Леонтовича позволяют, не определяя поле внутри проводника, приближенно учесть его влияние на поле в диэлектрике с помощью соотношений (154) и (155).

В случае идеального проводника H _01t = j_0S. Приближенно считая, что реальная проводящая среда близка к идеальному проводнику, можно привести еще одну форму записи приближенного условия Леонтовича на границе раздела диэлектрик-проводник:

= = , (156)

где = - поверхностное сопротивление проводника, т.к. в идеальном проводнике глубина проникновения волны l₀ = 0.