Максвелла как постулаты электродинамики

1. Вначале подробнее остановимся на понятии циркуляции вектора. Допустим задано некоторое векторное поле b(x, y, z). На рис. 3-25 показаны силовые линии поля и вектор b в точке M(x, y, z) этого поля. Проведем в векторном поле через точку M некоторую дугу l (дуга может и не совпадать с силовой линией). Направление элементарного перемещения по дуге (здесь в направлении от M к N) определим вектором dl. Модуль dl является дифференциалом дуги. Из векторов bи dl можно образовать скалярное произведение: (b×dl).

Содержание этого скалярного произведения в различных векторных полях различно. Например, если в качестве вектора bвзять вектор силы F, то скалярное произведение (F×dl) есть элементарная работа силы F на перемещении dl.

Интеграл по дуге l от точки M до точки N

= =

называется криволинейным интегралом. Здесь: a - угол между векторамиb и dl; b_l – проекция b на направление вектора dl.

Криволинейный интеграл , взятый по замкнутому контуру l, называется циркуляцией вектора b.

Ранее мы выяснили, что циркуляция напряженности E электростатического поля равна нулю (§ 3.1.8). Вспомним, это можно показать, воспользовавшись фактом равенства нулю работы A электростатического поля при движении заряда q по замкнутому контуру l:

A = = 0, поэтому = 0. (9)

2. Циркуляция вихревого электрического поля. Опыты Фарадея по электромагнитной индукции показали, что переменное во времени магнитное поле порождает в пространстве вихревое электрическое поле. Силовые линии этого поля замкнуты сами на себя. Циркуляция вихревого электрического поля по любому контуру определяется выражением

= . (10)

Знак минус отражает правило Ленца. Частная производная подчеркивает, что произвольный контур l и натянутая на контур произвольная поверхность S неподвижны.

Иллюстрация уравнения Максвелла (10) приведена на рис. 3-26, где показана поверхность S, ограниченная контуром l, и переменное магнитное поле (вектор ), пронизывающее поверхность S. Подчеркнем, контур l и охватываемая им поверхность S могут быть любой формы. В общем случае в разных точках поверхности S векторы могут различаться по модулю и составлять с поверхностью некоторый угол. Направление вектора E определено правилом правого винта с учетом правила Ленца.

Кольцо из проводника (материализованный контур), находящийся в переменном магнитном поле, позволяет экспериментально обнаружить вихревое электрическое поле по индуцированному в этом кольце электрическому току.

Напомним следующее. Согласно закону Фарадея , ЭДС индукции e_i в проводнике (например, в форме кольца) возникает при изменении во времени магнитного потока Ф = BS =B S cosα, пронизывающего кольцо. Каквидно из выражения для потока, изменять магнитный поток Ф с течением времени можно тремя способами:

1) используя переменное магнитное поле (изменяя во времени индукцию магнитного поля B); 2) изменяя площадь кольца S в постоянном магнитном поле, деформируя кольцо; 3) изменяя угол α между векторамиBиS, вращая кольцо в постоянном магнитном поле.

Деформация кольца и изменение угла α означают, что соответствующий контур подвижен. Возникновение ЭДС x в процессе деформации кольца или изменения угла α обусловлено действием силы Лоренца на заряды (электроны, ионы) в движущихся частях проводника.

В уравнении Максвелла (10) контур l и натянутая на контур поверхность S неподвижны (взята частная производная ). Уравнение (10) отражает фундаментальный факт: переменное во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле E

Итак, констатируем, источником электрического поля могут быть:

1) неподвижные заряды, являющиеся источником электростатического поля; циркуляция электростатического поля равна нулю – уравнение (9);

2) переменное во времени магнитное поле, порождающее вихревое электрическое поле; циркуляция вихревого электрического поля не равна нулю и определяется уравнением (10). Силовые линии вихревого электрического поля охватывают вихри в виде переменного магнитного поля (вихри расположены на поверхности S).

3. Дифференциальная форма уравнения о циркуляции вихревого электрического поля. Ротор вектора E.

Важным в понимании дифференциальной формы уравнения Максвелла о циркуляции электрического поля является то обстоятельство, что циркуляция вектораEпорождается на поверхности S, натянутого на контур. Действительно, из уравнения (10) следует, что циркуляция по контуру l равна интегралу всех на поверхности S, ограниченной контуром l.

Так как циркуляция порождается на поверхности, то можно говорить о плотности циркуляции в точке (x, y, z) на поверхности S и ввести соответствующую характеристику векторного поля. Эта характеристика называется ротором (вихрем) векторного поля.

Раскроем содержание понятия ротора (вихря) векторного поля E, характеризующего плотность циркуляции в выбранной точке поверхности S.

Введем понятие средней плотности порождения циркуляции на поверхности Sкак отношения циркуляции к площади S:

средняя плотность циркуляции E на поверхности = .

Рассмотрим на поверхности S некоторую точку M с координатами (x,y,z) и будем стягивать контур l к этой точке. При этом контур все время должен оставаться на поверхности S. Получаемая при стягивании контура бесконечно малая поверхность dS содержит точку M(x,y,z). Предел, к которому стремится средняя плотность циркуляции при стягивании контура к точке M(x,y,z), определяет плотность порождения циркуляции в этой точке M(x,y,z):

плотность циркуляции в точке M(x,y,z) = . (11)

Плотность циркуляции (скалярная величина!) равна проекции некоторого вектора на направление нормали n к элементарной поверхности dS, содержащей данную точку M(x,y,z). Покажем это, воспользовавшись примером, приведенным в книге: Савельев И.В. Курс общей физики в 5 книгах. Кн.2. Электричество и магнетизм. – М.: Наука, 1998, с. 50-61.

Циркуляция однородного электрического поля, т.е. поля при E = const, равна нулю: = = 0, т.к. сумма замыкающихся на себя векторов равна нулю: =0. Рассмотрим циркуляцию неоднородного электрического поля.

Пусть электрическое поле направлено перпендикулярно плоскости Z0Y (на рис. 3-27-а ось 0Z направлена к нам). У такого неоднородного поля отлично от нуля только компонента E_x, следовательно,E = E_xi. Допустим, неоднородность поля выражена тем, что компонента E_x линейно растет с координатой y, т.е. компоненту E_x можно представить линейной функцией E_x = ky, где k = const (единица измерения k - 1В/м²). На рис. 3-27-а неоднородностьE отображена изменением густоты силовых линийE с изменением y. Итак, имеем:

E = E_xi = kyi.

Определим циркуляциюE по элементарному контуру (1-2-3-4) в форме квадрата со сторонами 2а и площадью контура dS = 4a² (чтобы определить плотность циркуляции в рассматриваемой точке, необходимо взять бесконечно малый контур). Центр контура имеет по оси 0Y координату y.

Пусть вначале плоскость, охватываемая контуром, параллельна координатной плоскости X0Y , а стороны квадраты (1-4) и (2-3) параллельны оси 0Y.

В соответствии с выбранным направлением обхода контура, положительная нормаль n к плоскости контура направлена на рис. 3-27-а от нас за чертеж (правило правого винта). На этом же рис. 3-27-а показан фиксированный в данной системе координат единичный вектор e, перпендикулярный плоскости контура и также направленный за чертеж. С помощью фиксированного вектора e будем определять изменение ориентации плоскости контура в выбранной системе координат. Если повернуть плоскость контура, то этот поворот оценивается соответствующим углом между n и e. Рис. 3-27-а дублирован рисунком 3-27-б (на рисунке координатная система рассматривается со стороны координатной плоскости Y0Z и ось 0X на рисункенаправлена от нас). Циркуляция вектора Eпо данному контуруравна (см. рис. 3-27-а):

= E_xl_1-2 + E_xl_2-3cos90⁰ + E_xl_3-4 cos180⁰ + E_xl_4-1cos90⁰ =

= k(y + a)2a - k(y - a)2a = k4a² = k dS,

где dS = 4a² – площадь, охватываемая элементарным контуром. Заметим, так как циркуляция не равна нулю, то это не электростатическое поле.

Поделив, в соответствии с определением плотности циркуляции (11), полученный результат циркуляции(k dS) на площадь dS, получим плотность циркуляции, которая здесь равна k.

Определим циркуляцию относительно того же контура, но повернутого на угол α относительно оси, параллельной 0X и проходящей через середину контура (рис. 3-27-в). В этом случае стороны квадрата (1-4) и (2-3) образуют угол α с направление оси 0Y. Нормаль n к поверхности контура также повернется на угол α относительно фиксированного вектора e. Имеем:

= k(y + a cosα)2a - k(y – a cosα)2a = k4a² cosα = k dS cosα.

В этом случае плотность циркуляции равна = k cosα.

Образуем вектор ke. Скалярное произведение ke×n равно проекции вектора ke на нормаль n: ke×n = k cosα.

Из приведенного примера следует, что, плотность циркуляции на поверхности ведет себя как проекция вектора keна нормальnк поверхности, ограниченного контуром. В частности, при α = 0 проекция равна k. Вектор ke называется ротором (или вихрем) векторного поля. Ротор обозначается символом rot. В нашем примере

rot E= ke, а модуль ротора равен k.

Проекция rot E на n в нашем примере: (rot E)_n = k cosα .

Итак, плотность циркуляции - - в данной точке поверхности S, натянутой на контур, является проекцией ротора E на положительную нормаль n к поверхности: (rot E)_n = . (12)

Еще раз отметим, циркуляция порождается на поверхности контура. Плотность циркуляции максимальна и равна модулю вектора rot E, когда направление ротора совпадает с направлением нормали n. Можно, соответственно, говорить о потоке вектора rot Eчерез поверхность элементарного контура.

Теорема Стокса. Рассмотрим важную интегральную теорему векторного анализа – теорему Стокса. Пусть конечный контур l охватывает поверхность S. Разобьем S на бесконечно малые элементарные площадки dS, охватываемые элементарными контурами dl (рис. 3-28).

Из (12) следует: = или = ,

где: dS = ndS; dl – здесь это элемент бесконечно малого контура dl. Скалярное произведение ( ) является потоком вектора rot Eчерез элементарную площадку dS. Просуммировав ( ) по всем dS, получим в пределе интеграл по всей поверхности S. Этот интеграл определяет поток ротора через конечную поверхность S:

= .

Сумма циркуляций по элементарным контурам dl приводит к циркуляции по контуру l, охватывающему поверхность S (сумма циркуляций от внутренних контуров равна нулю, т.к. при суммировании они входят дважды с противоположными знаками):

=

Приходим к уравнению: = (13)

Уравнение (13) называется теоремой Стокса. Теорема Стокса (13) утверждает: циркуляция вектора E по произвольному контуру l равна потоку rot Eчерез произвольную поверхность S, ограниченную этим контуром. Теорема связывает поверхностный интеграл с интегралом по контуру. В этом смысле теорема Стокса аналогична теореме Гаусса-Остроградского [см. § 3.1.3, уравнение (1.9)], связывающего объемный интеграл с интегралом по поверхности.

В соответствии с интегральным уравнением Максвелла (10), вихревое электрическое поле порождается переменным магнитным полем. Запишем интегральное уравнение Максвелла (10) еще раз здесь:

= .

Сравнивая интегральное уравнение Максвелла с теоремой Стокса (13), получаем дифференциальную форму этого уравнения Максвелла:

rot E = - . (14)

Ротором (вихрем) электрического поля является взятая с обратным знаком переменная во времени индукция магнитного поля . Ротор порождает циркуляцию E. Напомним, модуль ротора равен максимальной плотности циркуляции электрического поля в данной точке. Максимальная плотность циркуляции реализуется при условии, когда ротор перпендикулярен поверхности (параллелен нормали n к поверхности).

4.Явный вид ротора (14) в декартовой системе координат.Запишем ротор в декартовой системе координат:

rot E= (rot E)_xi + (rot E)_yj + (rot E)_zk. (15)

Раскроем явный вид, например, компоненты (rot E)_x.

Так как задача заключается в определении x-компоненты ротора, то выберем элементарный контур в виде прямоугольника, параллельного плоскости Y0Z, а нормаль n к плоскости контура направим в положительном направлении оси 0х (на рис. 3-29 ось 0х направлена к нам). При таком направлении вектора n обход контура на рисунке осуществляется против часовой стрелки. Циркуляция по элементарному контуру будет определяться выражением:

(E_z3dz - E_z1dz) + (E_y2dy - E_y4dy),

Здесь учтено, что на участках контура (1) и (4) направление обхода противоположно положительным направлениям, соответственно, осей 0z и 0y. На двух других – направления совпадают. Представим выражение для циркуляции в виде:

(E_z3 - E_z1) dz - (E_y4 - E_y2) dy.

Величина (E_z3 - E_z1) – приращение E_z на отрезке dz при смещении этого отрезка на dy. Это приращение можно представить при стягивании контура в точку M(x,y,z) в виде

(E_z3 - E_z1) = .

Аналогично, (E_y4 - E_y2) – приращение E_y на отрезке dy при смещении этого отрезка на dz. Это приращение принимает вид:

(E_y4 - E_y2) = .

Подставим полученные соотношения в исходное выражение, получим циркуляцию по элементарному контуру:

( - ) dy dz или ( - ) dS,

где dS = dy dz – площадь элементарного контура.

Плотность циркуляции, т.е. (rot E)_x, определяется деление циркуляции на площадь контура [см. (12)]. Разделив циркуляцию на площадь контура, получим выражение для компоненты (rot E)_x относительно декартовой системы координат:

(rot E)_x = - .

Аналогично получаются выражения для остальных двух компонент:

(rot E)_y = - ,

(rot E)_z = - .

Таким образом, уравнение Максвелла (14) в декартовой системе координат имеет вид:

( - )i+ ( - )j+ ( - )k = -( + + ) (16)

Далее нам понадобиться операция векторного произведения векторов. Векторное произведение, например, векторов a и b, будем обозначать символом [a, b], т.е. сомножители поставлены в квадратных скобках через запятую. Приведем форму записи уравнения Максвелла (16) с использованием векторного оператора Гамильтона (оператора набла). Умножим векторно оператор набла Ñ = + + на напряженность электрического поля E = E_x i+ E_y j + E_z k,получим:

[Ñ, E] = [( + + ), ( E_xi+ E_yj + E_z k)] =

= ( - )i+ ( - )j+ ( - )k.

Полученное выражение есть ротор вектора E в декартовой системе. Выражение [Ñ, E] читается: ротор вектора E. Теперь уравнение Максвелла (14) можно записать также и в форме:

[Ñ, E] = - . (17)

Отметим, ротор, как и дивергенция, инвариантен относительно выбора системы координат.

3.4.4.Циркуляция и ротор магнитного поля. Гипотеза Максвелла

1.Циркуляция магнитного поля, создаваемого постоянным электрическим током. Теорема о циркуляции вектора индукции B магнитного поля тока, рассмотренного в § 3.2.4, является теоретическим обобщением опытов Эрстеда:

=m₀ I или = . (18)

Соответственно, теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля имеет вид: = I или = . (19)

Напомним: циркуляция вектора B определяется всеми токами в магнетике – и токами проводимости и токами намагничивания; циркуляция вектора H зависит только от токов проводимости.

2. Гипотеза Максвелла.

Исходя из идеи о единстве электрического и магнитного явлений и аналогии с явлением электромагнитной индукции, Максвелл выдвинул гипотезу о том, что источником магнитного поля являются не только электрические токи, но и переменное электрическое поле.

Идея о единстве природы электрического и магнитного явлений была высказана многими физиками задолго до Д.К. Максвелла. Можно вспомнить, например, доклад на тему «Речь о сходстве электрической и магнитной силы» Ф. Эпинуса, помощника М.В. Ломоносова, прочитанный им в 1758 году. Опыты Фарадея по электромагнитной индукции убедили, что переменное магнитное поле порождает электрическое поле. Максвелл выдвинул гипотезу, что в природе реализуется и обратный процесс – переменное электрическое поле должно порождать магнитное поле.

Ток смещения. Гипотезу Максвелла можно проиллюстрировать, например, рассмотрев факт существования переменного электрического тока в цепи, в которой имеется конденсатор.

Предварительно получим уравнение непрерывности в цепи с электрическим током. Выделим внутри проводника, по которому течет электрический ток свободных зарядов, объем V, ограниченный поверхностью S. Поток плотности тока проводимости j из этого объема равен свободным зарядам, выходящим за единицу времени через поверхность S, т.е. равен убыли заряда в единицу времени в объеме V:

= . (20)

Уравнение (4.20) отражает закон сохранения заряда и называется уравнением непрерывности.

В случае постоянного тока концентрация зарядов в выделенном объеме не изменяется, - сколько зарядов в единицу времени войдет в выделенный объем, столько же за это же время выйдет. Уравнение непрерывности в случае постоянного тока принимает вид = 0. (20*)

Из этого следует, что линии вектора плотности постоянного токаj замкнуты сами на себя. Таким образом, исходным условием существования постоянного тока является замкнутая цепь. В частности, если в какой-то ветви (части) цепи постоянного тока содержится конденсатор, то в этой ветви ток отсутствует, так как конденсатор представляет собой разрыв цепи.

В цепи переменного тока с конденсатором электрический ток существует и может быть измерен амперметром. Подробнее рассмотрим циркуляцию магнитного поля, создаваемого переменным током в ветви цепи, содержащий конденсатор (рис. 3-30). В качестве контура l возьмем замкнутую кривую, охватывающую провод, соединенный с конденсатором. Циркуляция H равна потоку тока проводимости через поверхность S, натянутую на контур (19).

Как было рассмотрено ранее, циркуляция порождается на поверхности, натянутой на контур, и циркуляция не зависит от субъективного выбора формы поверхности. Важно только, чтобы существовал источник циркуляции на поверхности: поверхность должна пронизываться электрическим током. На рисунке приведены две поверхности S и S^/, натянутые на один и тот же контур l. Через поверхность S проходит электрический ток (мысленная поверхность S пересекает провод) и уравнение (19) выполняется. Через поверхность S^/ ток проводимости отсутствует, и уравнение (19) не выполняется. Получается, что циркуляция зависит от субъективного выбора формы поверхности, что не должно быть. Возникшее противоречие может быть обусловлено только тем, что не учтены особенности поверхности S^/, точнее - не учтены особенности пространства между обкладками конденсатора.

Поверхность S^/ пронизывается переменным электрическим полем, создаваемым зарядами на обкладках конденсатора (заряды на обкладках периодически изменяются по величине и знаку, т.к. ток переменный). Поток вектора D= ee₀E через замкнутую поверхность (S^/ + S), охватывающую правую обкладку конденсатора, определяется теоремой Гаусса [§ 3.1.2 (5^*)]. Продифференцируем по времени теорему Гаусса, получим:

= .

Полученное уравнение гласит, что изменение потока вектора Dопределяетсяизменением заряда внутри замкнутой поверхности (S^/ + S). Поменяем последовательность операций дифференцирования и интегрирования, получим:

= , (21)

где размерность интеграла совпадает с размерностью тока и измеряется в амперах, имеет размерность плотности тока, измеряется в А/м².

С другой стороны, из уравнения непрерывности (20) следует, что уменьшение заряда внутри (S^/ + S) в единицу времени равняется потоку плотности тока пров