Метод введения новой переменной

Методы решения иррациональных уравнений и неравенств.

I. Лекция.

Иррациональным уравнениемназывается уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Напомним определения, связанные с понятием корня.

Арифметическим корнем n-й степенииз неотрицательного числа аназывается такое неотрицательное число b, n-ая степень которого равна а, т.е. , если ( ). Из определения следует:

Свойства корней:

Основное свойство корня
Умножение корней
Деление корней
Возведение корня в степень
Извлечение корня из корня
Вынесение множителя из-под знака корня	в частности,
Внесение множителя под знак корня
Свойство корня четной степени	в частности,

Функция и ее график:

Особенности решения иррациональных уравнений:

· При возведении обеих частей иррационального уравнения в четную степень получается уравнение-следствие, то есть такое уравнение, корнями которого являются все корни данного уравнения (но не наоборот!). В результате этой операции могут появиться посторонние корни.

· Появление посторонних корней чаще всего связано либо с расширением ОДЗ уравнения, либо с превращением неверного равенства в верное при возведении уравнения в четную степень (-1=1 неверное равенство, (-1)² = 1² верное равенство).

· Корни, полученные таким способом, нуждаются в проверке.

Решение иррациональных неравенствсводится к решению равносильной ему совокупности систем рациональных неравенств.

Необходимо помнить:

• Если обе части неравенства возводятся в нечетную степень, то всегда получается неравенство, равносильное заданному.
• Обе части неравенства можно возводить в четную степень лишь в том случае, если они неотрицательны. При этом получается неравенство, равносильное заданному ( в ОДЗ).

Равносильные переходы при решении некоторых видов иррациональных неравенств
с четным показателем корня
Вид строгого неравенства	Равносильная система или совокупность систем	Вид нестрогого неравенства	Равносильная система или совокупность систем
с нечетным показателем корня
Вид строгого неравенства	Равносильное неравенство	Вид нестрогого неравенства	Равносильное неравенство

Методы решения иррациональных уравнений и неравенств.

1. Решение простейших иррациональных уравнений, используя свойство корня n-ой степени

Пример.

Возведем обе части уравнения в куб, получим:

х – 4 = 27

х = 31

Ответ: 31.

Метод возведения в степень

Пример.

5х – 1 = 4х² – 4х + 1

4х² – 9х + 2 = 0

х_1,2 =

х₁ = 2 х₂ =

Проверка показала, что х = посторонний корень.

Ответ: 2.

Метод введения новой переменной.

Пример.

Пусть ;

а² -2а – 3 =0

а₁ = -1 не удовлетворяет условию

а₂ = 3

х + 32 = 81

х = 49

Ответ: 49.