Свойства математического ожидания

1. Теорема. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение с вероятностью . Поэтому .

2. Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин и равно разности их математических ожиданий:

Доказательство:

1) Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями ( ), а случайная величина принимает значения с вероятностями ( ). Тогда возможными значениями случайной величины будут суммы , вероятности которых равны:

.

Как уже отмечалось ранее, все комбинации ( ) ( , ) можно считать допустимыми, причем, если сумма невозможна, то полагаем, что .

Сумма представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина принимает значения при условии, что случайная величина примет одно из своих возможных значений (что достоверно); это сложное событие, очевидно, эквивалентно тому, что принимает значение и поэтому .

Аналогично .

Тогда .

2) Для нескольких случайных величин, например для трех , и , имеем:

, и т.д.

Следствие. Если – постоянная величина, то:

3. Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть случайная величина принимает значения ( , ) ( ) и ( , ) ( ) – законы распределения случайных величин и . Так как и – независимы, то полный набор значений случайной величины состоит из всех произведений ( , ), причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны .

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Действительно, например, для трех взаимно независимых случайных величин , и :

, и т.д.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

Если – постоянная величина и – любая случайная величина, то, учитывая, что и – независимы, получим:

.

Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин и равно разности их математических ожиданий: .

Доказательство.

.

Примеры

• Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть Тогда её математическое ожидание

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

• Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где . Тогда её плотность имеет вид и математическое ожидание равно

.

• Пусть случайная величина имеет стандартное распределение Коши. Тогда

,

то есть математическое ожидание не определено.