Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график. Примеры

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

Свойства функции распределения.

1. .

Доказательство:Это утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность, а как известно, .

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

Доказательство: Пусть х₁<x₂. Докажем, что F(x₁) F(x₂). Пусть событие А=(Х<x₁), B=(x₁ Х<x₂). Тогда А+В=(Х<x₂). События А и В несовместны, следовательно по теореме сложения Р(А+В)=P(А)+P(В). То есть Р(Х<x₂) =Р(Х<x₁)+Р(x₁ Х<x₂). Другими словами F(x₂)=F(x₁)+ Р(x₁ Х<x₂). (3)

Так как Р(x₁ Х<x₂) как вероятность невозможного события Х . как вероятность достовероного события Х .

4. Р(х₁ Х<x₂)=F(x₂)-F(x₁). (4)

Доказательство:это непосредственно следует из формулы(3).

Пример: Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале [2; 5).

Решение:По формулеР(х₁ Х<x₂)=F(x₂)-F(x₁). (4)

Р(2 Х<5)=F(5)-F(2)=1-2/3=1/3. (4).

Ответ : 1/3.

Функция распределения дискретной случайной величины. Примеры.

если  - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁ < p₂ < … < p_i < …, то таблица вида

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

Теорема о существовании случайной величины с заданной функцией распределения. Непрерывная случайная величина. Вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. Примеры.

Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). различают непрерывные и дискретные случайные величины.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина Х, если ее функция распределения (интегральная функция распределения) представима в виде:

где f(x) – некоторая неотрицательная функция, такая что

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины X (дифференциальной функцией распределения).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значение в заданном промежутке, вычисляется следующим образом:

Примеры распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х:

• равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
• показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
• нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

17. Абсолютно непрерывная случайная величина. Плотность вероятности абсолютно непрерывной случайной величины, ее определение, свойства, и график.

Важный класс непрерывных случайных величин -- абсолютно непрерывные случайные величины. Это случайные величины, распределение которых имеет плотность.

Определение 3.7 Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует функция такая, что

1. ,
2. ,
3. имеет место равенство:

Функция , обладающая вышеперечисленными свойствами, называется плотностью распределения случайной величины .

Следствие 3.1 Если -- абсолютно непрерывная случайная величина, то

Наглядный смысл плотности можно проиллюстрировать следующим рисунком.

Замечание 3.5 Если плотность непрерывна в точке , то из Следствия 3.1вытекает следующее представление:

Следствие 3.2 Если -- точка непрерывности функции , то

Примеры абсолютно непрерывных распределений

1) Равномерное распределение в отрезке

2) Показательное распределение с параметром

Показательное распределение называют также экспоненциальным.

3) Нормальное (или гауссовское) распределение , , :

Стандартное нормальное распределение -- :

Плотность распределения удовлетворяет свойствам:

и .

И наоборот, любая интегрируемая функция , удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины.

Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием:

.