КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1. Вычислить пределы:

 

Задание 1

Вычислить пределы:

1.

2.

 

3.

4.

5.

Делаем замену , , .

6.

.

 

Вычислить пределы.

1.

2.

3.

4.

 

 

Задание 2

При решении примеров используются формулы производных сложных функций , где :

и другие.

1. .

2. Преобразуем:

.

.

3.

4.

.

5. логарифмируем: дифференцируем:

 

6. логарифмируем: дифференцируем:

 

7.

.

 

 

Задание 3

Провести полное исследование функций и построить графики.

а) ; б) .

Решение:

а) .

1) Функция определена на всей оси Ох, кроме точки , где она терпит бесконечный разрыв.

2) Находим наклонные асимптоты :

;

Наклонная асимптота . Вертикальная асимптота .

Находим критические точки, в которых первая или вторая производная равна нулю, либо не существует:

;

.

Критическими точками будут и , где =0 . В точке функция не существует.

Из формулы для следует, что y<0 при , и y>0 при .

Из формулы для следует, что при x из (- ,-2) >0, т.е. функция возрастает; в интервале (-2,-1) <0 – функция убывает, а точка является точкой максимума. В интервале (0,+ ) >0 – функция возрастает. В интервале (-1;0) производная <0 и функция убывает. Точка – точка минимума.

В интервале (- ;-1) <0 – график функции выпуклый, в интервале (-1; + ) >0 - график вогнутый.

 

 

Результаты исследований сведем в таблицу:

 

x	(- ,-2)	-2	(-2,-1)	-1	(-1,0)		(0,+ )
y	-	-4	-	-	+		+
	+		-	не сущ.	-		+
	-	-	-	не сущ.	+	+	+
Выводы:	Функция возрастает; график выпукл.	Точка максимума	Функция убывает; график выпукл.	Точка разрыва	Функция убывает; график вогнут.	Точка минимума	Функция возрастает; график вогнут.

 

 

Строим график:

 

 

б) .

1) Функция определена, если >0 , т.е.

В точках и функция имеет бесконечный разрыв, так как:

; .

2) Прямые и – вертикальные асимптоты, т.к. lim |y|= в этих точках.

Наклонные асимптоты:

; ;

Таким образом, уравнение асимптоты .

3) Находим и : ;

.

Критические точки: 0, в точках и функция не существует;

=0 , точка – критическая точка; ОДЗ.

>0 в интервалах (- ;-2) и (1;+ ) – функция возрастает;

<0 в интервале (1;+ ) – график функции выпуклый;

>0 в интервале (- ;-2) – график функции вогнутый;

Из условия у=0 найдем точку пересечения кривой с осью Ох.

.

Составим таблицу, включающую точки и ; .

 

 

x	(- ,-2)	-2		(1, ).	.	( ,+ )
y	+	+	-	-		+
	+	не сущ.	не сущ.	+	+	+
	+	не сущ.	не сущ.	-	-	-
Выводы:	Функция возрастает; график вогнут.	Вертикальная асимптота.	Вертикальная асимптота.	Функция возрастает; график выпукл.		Функция возрастает; график выпукл.

 

 

Строим график функции:

 

Образец выполнения контрольной работы № 2

 

 

Задание 4

 

 

Найти неопределённые интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

 

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Решение.

 

а)

.

Проверка.

Найдём производную от полученного результата:

.

Получили исходную подынтегральную функцию. Значит, интеграл найден верно.

Ответ: .

б) находят интегрированием по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид

.

Примем . Первое равенство дифференцируем, второе интегрируем:

.

Получаем: . Применяя формулу интегрирования по частям, находим:

.

Проверка.

.

Интеграл вычислен верно.

Ответ: .

в) – интеграл от рациональной дроби. Найдём корни многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. решим уравнение :

и разложим знаменатель дроби на множители, а дробь – на сумму двух простейших дробей:

.

Приравняем числители первой и последней дроби:

.

Это тождество должно выполняться при всех .

Подставим : .

Теперь подставим : .

Значит, разложение дроби имеет вид:

.

Найдём теперь заданный интеграл:

.

Ответ: .

г) В интеграле сделаем замену переменной , откуда . Дифференцируя обе части, найдём:

.

После замены интеграл принимает вид:

=

.

Ответ: .

 

 

Задание 5

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

.

 

Решение.

 

Функция не ограничена в окрестности точки x = 3. Поэтому точка x = 3 – особая. По определению несобственного интеграла

Ответ: .

 

 

Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

 

Решение.

Искомая площадь заштрихована на рисунке.

Её величина вычисляется по формуле

.

Ответ: .

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

Задание 7

 

Дано:

A= , B= , C= .

Найти: .

Решение:

= = =

= ;

= +5 = + = ;

 

= = = ;

, где ;

- алгебраическое дополнение элемента .

 

Проверка:

=

=

.

Получили, что , значит обратная матрица вычислена верно.

 

 

Задание 8

 

Доказать совместность системы уравнений

и решить её а) методом Гаусса, б) матричным методом.

Решение:

Матрица системы ,

расширенная матрица .

Вычислим ранги матрицы А и матрицы С.

Применим к матрицам А и C элементарные преобразования. Обозначим схематически умножение i-й строки на число m и прибавление полученной строки к k-й строке.

Аналогичное обозначение применим к столбцам.

Деление строки (столбца) на число N обозначим

 

 

A=

.

Следовательно, ранг А = 3.

Вычислим ранг матрицы С.

 

C =

 

 

 

.

 

Следовательно, ранг С = 3

Так как ранг А = ранг С, то система совместна.

 

а) Решение системы методом Гаусса.

Рассмотрим расширенную матрицу С и осуществим преобразование со строками

 

C=

.

Коэффициенты матрицы G являются коэффициентами системы уравнений:

Получим: .

 

б) Решение системы матричным методом.

Систему уравнений

можно представить в матричном виде, если обозначить матрицы:

A= ; B= ; X=

Система уравнений в матричном виде: A X=B

Решение имеет вид: X= B

Найдем

 

.

 

Вычислим алгебраические дополнения:

 

 

 

X= B = = = =

Следовательно, .

 

 

Задание 9

 

Даны координаты вершин пирамиды :

(1;3;0) ; (7;4;1) ; (2;9;6) ; (4;6;6).

Найти:

1) длину ребра ;

2) угол между ребрами и ;

3) уравнение прямой ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между ребром и гранью ;

6) объём пирамиды;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

8) сделать чертеж.

Решение:

1) координаты векторов: =(6;1;1) ; =(1,6,6); =(3;3;6).

Длины векторов: = = ; = = .

2) Угол между ребрами и :

,

.

3) уравнение прямой :

4) уравнение плоскости :

(x-1)(6-6) - (y-3)(6 6-1 1)+z(6 6-1 1)=0 -35(y-3) + 35z = 0 y-z-3=0

5) угол между ребром и гранью (плоскостью )

,

.

6) объем пирамиды:

(Из 3-го столбца вычтем 2-й столбец)

.

7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Направляющий вектор высоты – это нормальный вектор плоскости на грань . Каноническое уравнение высоты: .

 

8) Чертеж:

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Введение ….………………………….……………………….
Учебный план дисциплины ……...…….……………………
Цели и задачи дисциплины ………………….………………
Общие рекомендации студенту заочного отделения по изучению курса математики ..........………...…………..……
Указания по выполнению контрольных работ .……………
Таблица вариантов .………………………..…………………
Рекомендуемая литература ………………….………………
Рабочая учебная программа курса и методические указания к изучению предмета ……………………………………
ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ………………………
Контрольная работа № 1 …………………………………
Контрольная работа № 2 ……….…………………………
Контрольная работа № 3 …………………….……………
ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ .…..
Контрольная работа № 1 …….……………………………
Контрольная работа № 2 …………………………………
Контрольная работа № 3 …………………………………