Плоскость в пространстве

Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение

.

Вектор называется нормальным вектором плоскости. Если даны две плоскости с нормальными векторами и , то косинус угла между этими плоскостями определяется по формуле (этот угол всегда острый или прямой)

.

Если даны три точки , и , то уравнение плоскости, проходящей через три точкинаходится по формуле:

.

Задание 1.По координатам вершины пирамиды найти:

1. длину ребер и ;

2. угол между ребрами и ;

3. площадь грани ;

4. объем пирамиды ;

5. уравнение прямых ; ;

6. уравнения плоскостей и ;

7. угол между плоскостями и .

Пример. Выполнить задание 1, если , , , .

1) Если заданы точки , , и то координаты векторов , и их длины , равны:

а) ,

.

б) ,

.

2) Угол между ребрами и находим как угол между векторами и . Из определения скалярного произведения следует, что этот угол вычисляется по формуле:

.

Скалярное произведение находим через декартовы координаты:

.

Тогда

.

Откуда (вычисления проводим на инженерном калькуляторе)

3) ‑ площадь треугольника, построенного на векторах и . Зная их декартовы координаты, находим векторное произведение

,

, , .

Тогда

.

4) Учитывая геометрический смысл смешанного произведения векторов, получим формулу для вычисления объема пирамиды:

.

Найдем координаты вектора :

Смешанное произведение этих векторов найдем через их декартовы координаты

.

Отсюда

.

5) Найдем канонические уравнение прямых и . За направляющие вектора примем вектора и . За точку лежащую на этих векторах примем точку

прямая : ;

прямая : .

6) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и находится по формуле:

.

Составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

или .

Разложив определить по первой строке, получим

.

Итак, уравнение плоскости найдено . Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор .

Аналогично составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

или .

Разложив определить по первой строке, получим

.

Итак, уравнение плоскости имеет вид . Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор .

7) Угол , образованный двумя плоскостями и находится по формуле

, где и ‑ нормали плоскостей и .

Подставляя их значения из пункта 6) находим величину угла (расчеты выполняем на инженерном калькуляторе)

Задание №2

а) Найти решение системы с помощью правила Крамера;

б) Записать систему в матричной форме и решить средствами матричного исчисления.

Пример.

а) Составим и вычислим главный и вспомогательные определители системы:

,

,

,

.

Находим по правилу Крамера решение системы

.

б) Составим матрицу коэффициентов системы и столбец правых частей

,

и найдем обратную матрицу по формуле:

,

где и ‑ соответственно алгебраические дополнения и миноры, связанные между собой соотношением , а - определитель матрицы , вычисленный в пункте а). Найдем миноры:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Составим теперь обратную матрицу

и найдем столбец неизвестных по формуле :

.

Отсюда .

Задание №3. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

При вычислении предела дробно-рациональной функции при числитель и знаменатель дроби — величины бесконечно большие, т.е. получаем выражение которое представляет собой неопределённость. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень .

Пример 1. .

Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на :

.

(при слагаемые — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

В том случае, когда при вычислении предела дробно-рациональной функции при числитель и знаменатель имеют предел, равный нулю, т.е. имеем неопределенность , надо разделить их на и перейти к пределу. Если после деления окажется, что при числитель и знаменатель снова имеют пределы, равные нулю, то надо произвести повторное деление на .

Пример 2. .

Данный предел имеет неопределенность вида , так как числитель и знаменатель при стремятся к 0. Разложим квадратные трёхчлены в числителе и знаменателе рациональной дроби на линейные множители по формуле , где и — корни квадратного трёхчлена

.

Сократив рациональную дробь на , получим:

.

При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется первый замечательный предел

и его следствия:

.

Пример 3. .

Преобразовав разность косинусов в произведение, получим

.

Если в пределе встречается неопределенность , то используется второй замечательный предел или .

Пример 4. .

Выполнив преобразования и применив второй замечательный предел, найдём

.

Пример 5. .

Выполнив преобразования и применив формулу , найдём

.

Задание №4.Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции и определить их тип.

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Это равенство означает выполнение трех условий:

1) функция определена в точке х₀ и ее окрестности;

2) функция имеет предел при ;

3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке

Если в точке не выполняется по крайней мере одно из условий определения непрерывности функции, то такая точка называется точкой разрыва. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и .

При этом:

1) если , то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

2) если , то х₀ называется точкой конечного разрыва, а величину называют скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Пример.

Дана функция . Найти точки разрыва, определить их тип.

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Очевидно, что

.

Следовательно , . Поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен .

Задание №5.Найти производные первого порядка данных функций, используя правила дифференцирования.

При выполнении данного задания необходимо знать правила дифференцирования (производная суммы, произведения и частного двух функций), а также изучить таблицу производных.

Пример.

1) .

.

2) .

.

3) Найти .

Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле: .

; .

Тогда .

Задание №6.Составить уравнения касательной и нормали к графику функции , проведенных в данной точке .

Приведем уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке

,

и уравнение нормали к этой касательной

.

Пример.

Для функции в точке с абсциссой составить уравнение касательной и уравнение нормали.

1) Найдем значение функции .

2) Найдем значение :

, .

3) Составим уравнения касательной и нормали:

– искомое уравнение касательной;

– искомое уравнение нормали.

Задание №7.Найти предел функции с помощью правила Лопиталя.

Напомним правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида и :

Пусть и – функции, имеющие производные в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть при стремлении обе эти функции стремятся одновременно к нулю или к бесконечности. Тогда, если существует предел отношения их производных при , то существует и предел отношения самих функций при , причем оба эти пределы равны:

.

Замечания:

1) Правило Лопиталя остается справедливым и в том случае, если и или при или при .

2) Если опять дает неопределенность вида или , то правило Лопиталя следует применить еще раз.

Примеры:

1) .

2) .

3) .

Задание №8. Построить график функции , используя общую схему исследования функций.

Общая схема исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить тип функции (четность, нечетность).

3. Найти точки пересечения с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

4. Найти асимптоты графика функции:

а) вертикальные; б) невертикальные (наклонные).

5. Найти точки возможного экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

6. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции.

7. Построить график функции, учитывая проведенные исследования.

Пример. Построить график функции .

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме (в этом случае знаменатель равен нулю).

2. Для определения типа функции найдем значение

.

Следовательно, функция не является ни четной ни нечетной.

3. Так как уравнение не имеет действительных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью ОХ, но пересекает ось ОУ в точке .

Определим интервалы знакопостоянства функции:

.

.

4. Найдем асимптоты графика функции.

а) Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва :

, .

Следовательно прямая является вертикальной асимптотой.

б). Определим существование наклонной асимптоты:

,

.

Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту при .

5. Для нахождения точек возможного экстремума найдем производную функции:

 

.

Приравняем . Решая уравнение , находим корни производной и .

Исследуем знак производной. Для чего решим неравенство

Находим знаки на промежутках, учитывая корни и квадратного трехчлена :

, ; , ;

, ; ; .

Следовательно, функция возрастает на промежутках

и ,

и убывает на промежутках

и .

По изменению знака получаем точки локальных экстремумов:

, ,

, .

6. Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости, вогнутости найдем вторую производную функции:

.

Так как в нуль не обращается, то точек перегиба у функции нет.

Исследуем знак второй производной, решая неравенство :

при и при .

Следовательно, на интервале график направлен выпуклостью вверх (выпуклый), а на интервале – выпуклостью вниз (вогнутый).

По результатам исследования строим график функции .

 

Рис.1 Построение графика функции .

Задание №9.Найти неопределенные интегралы.

Пример. Найти неопределенные интегралы.

а) .

Применим подстановку . Тогда , откуда .

Таким образом,

б) .

Применим формулу интегрирования по частям . Пусть

, , тогда , .

Тогда

.

К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям. Пусть

, , ,

Таким образом,

.

в)

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой

.

Подынтегральную функцию разложим на дроби

,

откуда

.

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при в левой и правой частях последнего равенства получим систему трех уравнений:

Таким образом,

,

.

Вычислим отдельно интеграл . Используя равенства

,

получаем

.

Отсюда окончательно вычисляем интеграл

.

г) .

Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому выполним подстановку , , тогда

 

.