Кривые второго порядка

Уравнение если А, В и С одновременно не равны нулю, задает на плоскости линию, которую называют кривой второго порядка.

Если В=0 кривая имеет ось симметрии параллельную координатным осям. Будем рассматривать только этот случай.

Выделяя полный квадрат относительно каждой переменной x и y, уравнение приводим к одному из следующих канонических видов:

1. – линии эллиптического типа:

– эллипс с центром полуосями а и b.

Если то уравнение запишется в виде

– окружность с центром радиуса R.

 

2. – линии гиперболического типа:

– гипербола с центром вещественной полуосью – а, мнимой полуосью – b.

 

– сопряженная гипербола с центром вещественной полуосью – b, мнимой полуосью – а.

 

3. – линии параболического типа.

Здесь возможны четыре случая:

либо – параболы с вершиной , где .

В первом случае – ось симметрии параллельна оси , во втором –

Если в уравнении знак “+”, ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии, знак “–” — в противоположном.

 

 

 

Замечание. Возможны так называемые вырожденные случаи:

1) :

– точка .

– мнимый эллипс.

2) : или

– пара пересекающихся прямых:

3) : или – пара мнимых прямых, пара параллельных прямых.

 

4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

3.1. Координаты вектора.

Обозначим единичные векторы координатных осей соответственно , , . , , , . Любой вектор может быть единственным способом разложен на составляющие по координатным осям:

 

 

, , ,

 

.

 

Числа , , проекции вектора на оси координат, называются координатами вектора в базисе .

3. 2. Основные действия с векторами.

Пусть , , – скаляр.

1°. Û , , .

2°. .

3°. .

4°. Длина (модуль) вектора: .

5°. Условие параллельности векторов: || Û .

6°. Чтобы найти координаты вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала .

Пример. Найти длину вектора , если , .

Решение. По 6°: , . Его длина (4°): (ед).

3. 3. Скалярное произведение векторов есть число, вычисляемое по формуле:

.

 

Угол между векторами:

Условие перпендикулярности векторов: Û Û .

Проекция вектора на направление : .

 

Пример. Найти угол между векторами ; .

Решение. Находим ; ,

 

; ,

 

.

 

3. 4. Векторное произведение.

Векторным произведением на называется вектор , удовлетворяющим трем условиям

1. ,

2. ; ,

3. образуют правую тройку, т. е. с конца вектора вращение от к , по наименьшему углу, выглядит против часовой стрелки.

Обозначают .

Обратите внимание, .

— модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Если известны координаты сомножителей, то

 

.

 

Пример. Построить векторы , , .

; . Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Решение. Найдем вектор .

.

 

Сделаем чертеж.

На векторах и , как на сторонах, строим параллелограмм ОАВD. Его площадь численно равна , т. е. длине вектора .

 

;

 

Площадь параллелограмма .

3. 5. Смешанное произведение трех векторов есть число

 

.

В координатной форме :

.

 

Модуль смешанного произведения — численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах.

Смешанное произведение имеет знак плюс, если тройка векторов — правая, минус, если тройка левая.

Условие компланарности векторов. Векторы компланарны (лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т. е.

 

.

 

3.6. Разложение вектора по базису.

Любые три вектора , , , не лежащие в одной плоскости, могут быть приняты за базис в . Всякий вектор может быть разложен по этому базису, т. е. представлен в виде .

Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

 

; , .

Решение. Найдем смешанное произведение

 

,

 

Объем

Пример. Убедиться, что векторы не лежат в одной плоскости, написать разложение вектора по векторам если

; ; ; .

 

Решение. 1) Проверяем условие компланарности для векторов .

 

не лежат в одной плоскости и могут быть приняты за базис.

2) Разложим вектор по векторам :

.

Чтобы найти запишем это равенство для каждой координаты

 

Решив систему уравнений любым известным способом, находим ; ; . Значит, .

 

3. 7. Плоскость и прямая в пространстве

1. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости есть уравнение первой степени относительно :

 

.

 

Вектор перпендикулярен к плоскости.

2. Если плоскость проходит через точку , то ее уравнение

 

.

 

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки ,

, :

 

4. Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

 

 

Пример. Найти расстояние до плоскости, проходящей через точки , , , от начала координат.

Решение. Составим уравнение плоскости

 

,

 

 

; .

 

Расстояние от начала координат до плоскости

 

.

 

5. Общие уравнения прямой записываются как линия пересечения двух плоскостей:

 

 

если и не коллинеарны.

6. Канонические уравнения:

 

 

–прямая, проходящая через точку в направлении .

7. Прямая, проходящая через две данные точки

 

 

8. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой с плоскостью определяются соотношениями направляющих векторов и . Например, если плоскости параллельны, то , если прямая параллельна плоскости, то и т. п.

Пример. Через точку провести прямую, перпендикулярно плоскости .

Решение. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой , так как его длина несущественна, можно взять . Имеем : .

 

Пример. Точки , , , являются вершинами пирамиды. Вычислить 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) Объем пирамиды; 5) уравнения прямой ; 6) уравнение плоскости ; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 8) длину этой высоты.

Решение. Найдем координаты векторов — ребер:

 

.

 

, ,

 

.

 

1) Длина вектора .

2) ,

,

 

Скалярное произведение: ,

,

 

.

 

Из таблиц (или с помощью калькулятора) находим .

3) Площадь грани .

 

 

Векторное произведение

 

;

 

,

 

4) Объем пирамиды .

Смешанное произведение

 

,

 

.

 

5) Уравнения прямой пишем как уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

; ;

 

.

 

6) Уравнение плоскости по трем точкам:

 

.

 

; ;

 

 

.

 

7) Уравнение высоты . Канонические уравнения прямой:

.

Прямая проходит через точку , в качестве направляющего вектора возьмем вектор — нормаль к плоскости .

 

 

8) Длина высоты может быть найдена как расстояние т. от плоскости

 

или

 

; .

 

 

Комплексные числа

4.1.Комплексным числом называется выражение вида:

,

где и — любые действительные числа, а — так называемая мнимая единица, удовлетворяющая условию

.

Числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа .

Комплексные числа можно представлять точками плоскости или же векторами этой плоскости.

 

4. 2. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается через , так что .

Угол , образованный вектором с положительным направлением оси называется аргументом комплексного числа и обозначается

 

.

 

,

где – главное значение , определяемое условиями , причем,

 

 

Так как , , то — тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера

 

 

можно перейти от тригонометрической формы к показательной

 

.

 

4. 3. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части: ; . Или когда их модули равны, а аргументы либо равны, либо отличаются на величину, кратную :

 

,

 

4. 4. Основные действия над комплексными числами.

При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно складываются или вычитаются их действительные и мнимые части

.

 

, .

 

Умножение: .

Деление:

.

 

 

Возведение в степень целое):

 

.

 

Корень из комплексного числа целое):

 

.

 

Корень – ой степени из любого числа имеет различных значений, которые располагаются в вершинах правильного – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

 

Пример. Даны комплексные числа в алгебраической форме:

; . Записать их в тригонометрической и показательной формах, изобразить на комплексной плоскости.

Выполнить указанные действия: , , , . Найти все корни уравнения , изобразить их на плоскости.

Решение.

Изобразим числа и на комплексной плоскости

 

, , .

 

,

 

.

 

Тригонометрическая форма:

 

, .

 

Показательная форма числа: ; .

Для ; ; ;

 

,

 

Выполним действия:

 

1) ,

 

2) ,

 

Умножаем по правилу умножения многочленов, учитывая, что или . (При умножении показатели складываются).

 

3)

.

 

В показательной форме:

. (При делении показатели вычитаются).

4) . Лучше это действие выполнять в показательной форме

.

Найдем корни уравнения , .

Корень третьей степени из комплексного числа имеет три различные значения. В данном случае

.

 

, ,

 

 

имеют одинаковый модуль, значит они располагаются на окружности с центром в начале координат, радиусом , так как разность аргументов , то они лежат в вершинах правильного вписанного треугольника.