Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры, векторная алгебра,

Аналитическая геометрия. Комплексные числа

Элементы линейной алгебры

 

1. 1. Матрица. Основные понятия. Матрицей А размера называется множество элементов расположенных в виде прямоугольной таблицы из строк и столбцов, имеющей вид:

 

.

 

Если , то А называется квадратной матрицей. Квадратные матрицы размера и называются матрицами второго и третьего порядка, соответственно.

Квадратная матрица, элементы главной диагонали которой единицы, а все остальные элементы нули, называется единичной:

 

, .

 

Матрица вида называется матрицей–столбцом.

 

Пусть даны две матрицы:

 

, .

 

1) Суммой (разностью) матриц А и В называется матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц

А и В:

.

 

2) Умножение матрицы на число. При умножении матрицы А на число , на это число умножаются все элементы матрицы:

 

.

 

3) Произведение матрицы А на матрицу В обозначается символом АВ и определяется равенством:

 

.

 

т. е. элемент матрицы произведения, стоящий в -й строке и -м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов -й строки матрицы А и -го столбца матрицы . Например.

 

.

 

Необходимо знать, что (в общем случае), но в некоторых случаях равенство может иметь место. Например: .

 

1. 2. Определитель. Определителем второго порядка, соответствующим матрице называется число, вычисляемое по формуле:

 

.

 

Аналогично, определителем третьего порядка называется число, определяющееся равенством:

 

.

 

Минором элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащий данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента называется произведение его минора на , где и номера строки и столбца, содержащих данный элемент. Например:

, тогда .

Пример 1. Даны матрицы

 

; ;

 

Найти матрицу и вычислить ее определитель.

Решение.

 

,

 

,

 

,

 

т. е. .

 

.

 

1. 3. Нахождение обратной матрицы.

Матрица называется обратной по отношению к матрице , если произведения и равны единичной матрице:

 

.

 

Пусть , тогда найдется по формуле:

 

,

 

где — определитель матрицы , а – алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Если , обратная матрица не существует (не определяется).

 

Пример 2. Дана матрица . Найти ей обратную.

 

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

 

.

 

Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

 

, , ,

 

, , ,

 

, , .

 

Следовательно,

 

.

 

Проверка. Если обратная матрица найдена правильно, то должно выполняться равенство: .

 

.

 

1. 4. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

 

 

Эту систему можно записать в матричном виде: , где

 

, , .

 

1. 4. 1. Метод Крамера для решения СЛУ. Если , то система имеет единственное решение и находится по формулам:

 

, , ,

 

где — определитель матрицы , а

 

, , .

 

1. 4. 2. Метод Гаусса для решения СЛУ.

 

 

Допустим, что (если , то изменим порядок уравнений, выбрав первым такое, в котором коэффициент при не равен нулю).

1 ШАГ. Делим уравнение (1) на ; умножим полученное уравнение на и вычтем его из (2); затем умножим на и вычтем из (3). В результате приходим к системе:

 

 

2 ШАГ. Делим уравнение (5) на , умножаем полученное уравнение на и вычитаем его из (6). В результате система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:

 

 

Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно, начиная с .

4. 3. Матричный метод решения СЛУ. Пусть дана система . Домножим обе части данного выражения на слева, т. е. , так как , а , то придем к уравнению вида . Это и будет решением СЛУ.

Пример 3. Решить систему уравнений тремя способами:

 

 

Решение.

1) Метод Крамера. Запишем матрицу и столбец свободных членов :

 

,

 

Решение данной системы найдем по формулам:

 

, , ,

 

где ,

 

,

 

,

 

 

Следовательно,

 

, , ,

 

2) Метод Гаусса.

 

 

Умножим уравнения (а) на 3 и вычтем полученное уравнение из (б); затем умножим уравнение (а) на 4 и вычтем из уравнения (в), в итоге получим:

 

 

Разделим уравнение (д) на (-4); умножим полученное уравнение на (-5) и вычтем его из уравнения (е), получим:

 

 

Из последнего уравнения находим ; далее, из второго

уравнения: ; из первого: .

Итого , , .

3) Матричный метод.

 

 

, .

 

Решение данной системы найдем по формуле .

Найдем . Определитель матрицы мы уже знаем . Вычислим алгебраические дополнения для элементов определителя матрицы А.

 

, , ,

 

, , ,

 

, , .

 

.

 

,

 

значит решением данной системы будет , , .