Кинематика. Методы Лагранжа и Эйлера описания движения жидкой частицы. Линия тока, трубка тока, струйка, их свойства

Движение можно описывать с помощью траектории:

− координаты точки в момент Это метод Лагранжа.

Зададим поле скоростей:

− неподвижные координаты пространства в которых определяется скорость. Это метод Эйлера.

Линия тока – это линия скорость которой в каждой точке совпадает со скоростью.

Если параметры движения не зависят от времени, то такое движение установленное или стационарное. В случае установленного движения линия тока и траектория совпадают.

Трубка тока заполняющей её жидкостью называется струйкой.

Свойства струйки: 1) Струйки не пересекаются. Где они пересекаются – критические точки.

2) Непротикание. 3) Принцип отвердевания (при остановки движ. Одной струйки другие не останавливаются).

 

Угловые скорости вращения жидкой частицы. Вихревая линия, трубка, шнур.

Вихревой линией называют линию касательная которой в каждой точки совпадает с вектором

Вихревой шнур или вихрь. Вихревая трубка.

Получим уравнение линии тока и вихревой линии.

По определению линия тока должна совпадать с касательной. линия тока приближается к касательной.

Если 2 вектора совпадают.

условие комплонарности.

 

Решаем выражение:

Уравнение линии тока. Уравнение вихревой линии.

 

Теорема Гельмгольца об интенсивности вихря.

Вихрь характеризуется понятием как интенсивность.

Теорема гласит, что интенсивность вихря для идеальной жидкости не меняется по длине вихря:

 

Циркуляция скорости. Связь между циркуляцией скорости и интенсивностью вихря. Теорема Стокса.

Г – Циркуляция

 

Теорема Стокса гласит: скорость по замкнутому контуру равна сумме интенсивности вихрей пронизывающих данный контур.

Если циркуляция против часовой стрелки и наоборот.

 

Определение поля скоростей около вихревого шнура. Формула Био – Савара.

Формула Био – Савара.

Прямая задача Обратная задача

Из Зная

Область вне вихря:

 

 

Производная скорости. Ускорение жидкой частицы.

Уравнение неразрывности.

Уравнение неразрывности.

Рассмотрим стационарное движение жидкости:

уравнение неразрывности в случае ассиметричного сечения.

В общем случае уравнение имеет вид:

 

 

Дифференциальные уравнения Эйлера движения идеальной жидкости.

Второй закон Ньютона:

В идеальной жидкости есть только нормальные давления (касательных нет).

Запишем проекцию всех сил в направлении оси X.

2 закон:

Дифференциальное уравнение Эйлера для идеальной жидкости. У Эйлера всегда идеальная жидкость, у Стокса (неидеальная).

 

Аналог второго закона Ньютона.