Критерий согласи Пирсона

Проверим, согласуются ли полученные данные с гипотезой о нормальном распределении , используя критерий согласия Пирсона, где = , - ранее вычисленные выборочные характеристики.

; =214,38

.

Задаем уровень доверия γ=0, 95 и уровень значимости α=0,05.

В таблице 9 приведено использование критерия Пирсона для : .

Таблица 9.

	7,5-12,5		0,0061	0,00336	3,3197	2,6803	7,1841	2,1641
	12,5-17,5		0,0091	0,00832	8,2202	0,7798	0,6082	0,0740
	17,5-22,5		0,0142	0,01719	16,9837	-2,9837	8,9026	0,5242
	22,5-27,5		0,0364	0,03227	31,8828	4,1172	16,9517	0,5317
	27,5-32,5		0,0466	0,05401	53,3619	-7,3619	54,1973	1,0157
	32,5-37,5		0,0870	0,08064	79,6723	6,3277	40,0395	0,5026
	37,5-42,5		0,1053	0,10737	106,0816	-2,0816	4,3329	0,0408
	42,5-47,5		0,1285	0,12748	125,9502	1,0498	1,1020	0,0087
	47,5-52,5		0,1377	0,13891	137,2431	-1,2431	1,5452	0,0113
	52,5-57,5		0,1265	0,12705	125,5254	-0,5254	0,2760	0,0022
	57,5-62,5		0,1073	0,10664	105,3603	0,6397	0,4092	0,0039
	62,5-67,5		0,0820	0,07982	78,8622	2,1378	4,5704	0,0580
	67,5-72,5		0,0516	0,05329	52,6505	-1,6505	2,7242	0,0517
	72,5-77,5		0,0324	0,03174	31,3591	0,6409	0,4107	0,0131
	77,5-82,5		0,0162	0,01717	16,9640	-0,9640	0,9292	0,0548
	82,5-87,5		0,0081	0,00779	7,6965	0,3035	0,0921	0,0120
	87,5-92,5		0,0051	0,00695	6,8666	-1,8666	3,4842	0,5074
S							= 5,5760

 

, где r - число параметров выбранной модели; r=2.

Статистика критерия Пирсона:

где N – число интервалов; - гипотетические вероятностные события.

Из теоремы Пирсона имеем:

По таблице для находим : =0,95 ⇒ =23,685

доверительная область критическая область

почти достоверных событий, маловероятных событий,

если гипотеза верна, если гипотеза верна

p=γ 1-γ=α

= 5,5760

 

Доверительная область критическая область

5,5760 23,685

Так как = 5,5760 попало в доверительную область, то никаких противоречий с гипотезой не наблюдается; гипотеза принимается с уровнем значимости α=1-γ. Другими словами, гипотеза на γ 100% согласуется с экспериментальными данными, а возможна ошибка 100% согласуется с экспериментальными данными, а возможна ошибка α 100%.

Критерии значимости.

1). Принимая определенную статистическую гипотезу о распределении вероятностей с помощью критериев значимости, проверим нулевую гипотезу о неизвестных параметров распределения.

Принимая гипотезу , проверим гипотезу : =50; =225.

- заранее данное число, дисперсия известна.

В ходе проведения эксперимента n=988; =49,92.

Гипотеза : =50 (то есть, проверим, можно ли округлять как в школе).

Альтернативная гипотеза : 50.

Уровень значимости: α=0,05; уровень доверия γ=0,95.

Статистика критерия значимости: .

;

.

Из таблицы для функции Лапласа найдем t: t=1,96.

критическая обл-ть доверительная обл-ть критическая обл-ть

γ

маловероятные события, почти достоверные маловероятные события,

если гипотеза события, если гипотеза если гипотеза

верна верна верна

 

Теперь посчитаем реализацию T для нашего конкретного эксперимента:

0,1697

критическая обл-ть доверительная обл-ть критическая обл-ть

=0,025 γ=0,95 =0,025

-1,96 -0,1697 1,96

 

0,1697 попадает в доверительную область. Гипотеза принимаем с уровнем значимости α=0,05 и уровнем доверия γ=0,95. Значимой разности между и 50 нет.

2). Принимая определенную статистическую гипотезу о распределении вероятностей с помощью критериев, проверим нулевую гипотезу о неизвестных параметрах распределения.

Принимая гипотезу ,проверим гипотезу : =50; =214,38.

В данном случае дисперсия не задана, т.е. неизвестна, но заменяется на расчетную единицу .

В ходе проведения эксперимента n=988; =49,92.

Гипотеза : =50 (то есть, проверим, можно ли округлять как в школе).

Альтернативная гипотеза : 50.

Уровень значимости: α=0,05; уровень доверия γ=0,95.

Статистика критерия значимости: .

Мы будем пользоваться двусторонним распределением Стьюдента с (n-1) степенями свободы (данное распределение табулировано): ; n-1=987; α=0,05; γ=0,95.

Из таблицы имеем: .

критическая обл-ть доверительная обл-ть критическая обл-ть

γ

маловероятные события, почти достоверные маловероятные события,

если гипотеза события, если гипотеза если гипотеза

верна верна верна

 

Теперь посчитаем реализацию T для нашего конкретного эксперимента:

0,1738;

критическая обл-ть доверительная обл-ть критическая обл-ть

=0,025 γ=0,95 =0,025

-1,96 -0,1738 1,96

 

0,1738 попадает в доверительную область. Гипотеза принимаем с уровнем значимости α=0,05 и уровнем доверия γ=0,95. Значимой разности между и 50 нет.

3). Принимая гипотезу ,проверим гипотезу : ; .

В данном случае уточняем второй параметр нормальной модели, т.е. дисперсию.

В ходе проведения эксперимента n=988; =214,38.

Гипотеза : =225.

Альтернативная гипотеза : 225.

Уровень значимости: α=0,05; уровень доверия γ=0,95.

Статистика критерия значимости: , – гипотетическая величина.

Доказано, что эта статистика распределена как с (n-1) степенью свободы, .

;

γ

 

Дело в том, что табулирована односторонне, т.е. , поэтому придется дважды обратиться к таблице для .

Т.к. γ=0,95, то =0,025, =0,975.

Теперь посчитаем реализацию T для нашего конкретного эксперимента:

940,416

=988 – большое число и по таблице для ни , ни не найти.

Поэтому воспользуемся ранее полученными результатами:

, где из из таблицы для функции Лапласа; =1,96.

901,361

1075,481.

0,025 0,95 0,025

901,361 940,416 1075,481

=940,416 попадает в доверительную область. Гипотеза принимаем с уровнем значимости α=0,05 и уровнем доверия γ=0,95. Значимой разности между 214,38 и 225 нет.

γ-доверительное интервальное оценивание.

Нахождение γ – доверительного интервала. γ=0,95; m=50; σ=15.

1). Гипотеза первая нормальная статистическая модель :

;

– из таблицы Лапласа;

; таким образом, из таблицы Лапласа =1,96; =49,91903.

Вывод: в среднем случайная величина θ принимает и с вероятностью γ=0,95 колеблется в пределах . В нашем случае колеблется в пределах 49,91903 1,96 .

Вывод: θ принимает значение =49,91903 и колеблется в пределах (48,98368974; 50,85436694).

2). Гипотеза вторая нормальная статистическая модель :

=0,975;

=0,025;

n=988 – большое число и по таблице для и не найти, поэтому воспользуемся ранее полученными результатами:

= ;

902,31649;

1076,52511.

Вывод: принимает значение и колеблется в пределах .

Найдем теперь эти пределы.

В качестве возьмем середины интервалов. Результаты вычислений представлены в виде таблицы: =50.

	Интервалы a=7,5, b=92,5, h=5	частоты	Середины интервалов	-50
	7,5-12,5			-40
	12,5-17,5			-35
	17,5-22,5			-30
	22,5-27,5			-25
	27,5-32,5			-20
	32,5-37,5			-15
	37,5-42,5			-10
	42,5-47,5			-5
	47,5-52,5
	52,5-57,5
	57,5-62,5
	62,5-67,5
	67,5-72,5
	72,5-77,5
	77,5-82,5
	82,5-87,5
	87,5-92,5
						214,1700405
				902,31649		234,737926
				1076,52511		196,751475

 

Вывод: принимает значение 214,1700405 и колеблется в пределах (196,751475; 234,737926).

3). Общая нормальная статистическая модель .

(в данной модели) принимает значение и колеблется в пределах с вероятностью γ=0,95.

;

При больших значениях n ввиду малой отличаемости из таблицы Стьюдента берут значение для бесконечности; таким образом, =1,96.

49,91903; =214,38047.

Вывод: колеблется в пределах (49,00603; 50,83203).

В среднем принимает значение и колеблется в пределах :

=214,16348;

=988 – большое число и по таблице для и не найти, поэтому воспользуемся ранее полученными результатами:

= ;

901,36061;

1075,48199.

Вывод: колеблется в пределах (196,743154; 234,749023).

Можно вместо взять , тогда колеблется в пределах (196,942489; 234,986864).