Критерий согласия Колмогорова

Расчет моды.

Найдем модальный интервал. Для этого в таблице 7 выберем интервал с наибольшей частотой. Модальный интервал (47,5; 52,5).

47,5-5 = 49,5

Вывод: мода равна 49,5. Около этого числа концентрируются те значения случайной величины, которые принимаются чаще всего.

Вычисление выборочной медианы.

Ищем сначала медианный интервал, пользуясь рассчитанными в таблице 7 накопленными относительными частотами.

= 0,433 < 0,5 8-я строка таблицы 7;

= 0, 697 > 0,5 10-я строка таблицы 7.

Вывод: накопленная относительная частота равная 0,5 достигается на 9-ом интервале.

Медианный интервал (47,5; 52,5).

= 49, 93;

Вывод: медиана равна 49, 93.

50% 50%

49, 93

делит числовую ось на две равновероятные области событий: 50% принимаемых значений меньше 129,99 и 50% больше.

Обратим внимание на ряд особенностей, возникших при расчете данной выборки:

1). Модальный и медианный интервалы совпали, этой особенностью обладает нормальное распределение вероятностей;

2). 50 – это тоже характерно для нормального распределения; ;

3). , 0 - отражает свойства нормального распределения вероятностей: = в ).

Правило трех сигм.

Правилом 3-х сигм: для нормального распределения почти все значения случайной величины лежат в интервале (MX - 3σ; MX + 3σ). Проверим, выполняется ли правило 3-х сигм для изучаемой случайной величины. В нашем случае интервал имеет вид: (6,016; 93,822). Правило трех сигм выполняется, так как все значения случайной величины попадают в интервал (6,016; 93,822) (начало первого интервала а=7,5; конец последнего интервала b=92,5).

Вывод: совпадение свойств изучаемой случайной величины со свойствами вероятностей нормального распределения позволяет сделать нам вывод, что, скорее всего предложенная случайная величина распределена нормально.

Метод моментов уточнения неизвестных параметров распределения вероятностей, если закон распределения вероятностей определен (статистическая модель подобрана).

Считаем, что наша случайная величина распределена по нормальному закону . -?, -?.

Из теории вероятностей: ; ;

Из математической статистики: ; ;

; =214,16.

Имеем модель .

Критерии согласия.

Критерий согласия Колмогорова.

Проверим, согласуются ли полученные экспериментальные данные с гипотезой с нормальным распределением ), где =50, = =225, использую критерий согласия Колмогорова.

Имеем ).

Зададим уровень доверия γ=0, 95 и уровень значимости α=0, 05.

.

В Таблице 8 приведено использование критерия Колмогорова для : ).

Таблица 8.

	интервалы	частоты	hi	Накопительные частоты	Накопительные относительные частоты
	7,5-12,5		До 12,5		0,006	= 0,5-0,49379 = 0,00621	0,000137
	12,5-17,5		До 17,5		0,015	= 0,5-0,48500= 0,015	0,000182
	17,5-22,5		До 22,5		0,029	= 0,5-0,43638=0,06362	0,034268
	22,5-27,5		До 27,5		0,066	= 0,5-0,43319=0,06681	0,001021
	27,5-32,5		До 32,5		0,112	= 0,5-0,379=0,121	0,008652
	32,5-37,5		До 37,5		0,199	= 0,5-0,29673=0,20327	0,003877
	37,5-42,5		До 42,5		0,305	= 0,5-0,19146=0,30854	0,003884
	42,5-47,5		До 47,5		0,433	= 0,5-0,06749=0,43251	0,000688
	47,5-52,5		До 52,5		0,571	= 0,5+0,06749=0,56749	0,00336
	52,5-57,5		До 57,5		0,697	= 0,5+0,19146=0,69146	0,005908
	57,5-62,5		До 62,5		0,805	= 0,5+0,29673=0,79673	0,007926
	62,5-67,5		До 67,5		0,887	= 0,5+0,379=0,879	0,00764
	67,5-72,5		До 72,5		0,938	= 0,5+0,43319=0,93319	0,005069
	72,5-77,5		До 77,5		0,971	= 0,5+0,43638=0,93638	0,034268
	77,5-82,5		До 82,5		0,987	= 0,5+0,48500= 0,985	0,001842
	82,5-87,5		До 87,5		0,995	= 0,5+0,49379 = 0,99379	0,001149
	87,5-92,5		До 92,5			= 0,5+0,49767= 0,99767	0,00233
	Наибольшее значение: 0,034268

- гипотетическая функция распределения вероятности.

Экспериментальные данные порождают , обозначим ее – эмпирическая функция распределения вероятностей (это накопленные относительные частоты, это ступенчатая функция).

Статистика критерия Колмогорова:

=

По теореме Колмогорова:

Так как функция Колмогорова табулирована, то зная ее значения, находим t. = =0, 95 .

Это значит, что:

Доверительная, критическая область

если -верна; малодостоверных событий

почти достоверные если -верна

события

Таким образом, если – верна, то мы разбили числовую ось на 2 области: более вероятную область для - левая и менее вероятную – правая.

В таблице 8 по значениям эксперимента мы рассчитали _{экспериментальное} = 0,034268

= =0,043267

Доверительная область критическая область

0,034268 0,043267

Так как _{экспериментальное} попало в доверительную область, то никаких противоречий с гипотезой не наблюдается; гипотеза принимается с уровнем значимости α=1-γ. Другими словами, гипотеза на γ 100% согласуется с экспериментальными данными, а возможна ошибка 100% согласуется с экспериментальными данными, а возможна ошибка α 100%.