Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30)

Дифференциальные уравнения первого порядка можно представить в дифференциальной форме P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (4) равносильное дифференциальному уравнению (3). Если в дифференциальном уравнении (3) функцию допускаем разделение переменных т. е. ее можно представить в виде , то дифференциальное уравнение (3) называется дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющими переменные - дифференциального уравнения с разделенными переменными. Интегрируя и получим общий интеграл: . Замечание: Отдельно исследовать случай f₂(y)=0 и если функция определяемая уравнение f₂(y)=0 удовлетворяет дифференциальному уравнению и входит в общий интеграл при котором с, то его включают в общий интеграл. Замечание 2: Дифференциальное уравнение (4) может быть дифференцируемым уравнением с разделяющими переменными если в функции P(x,y) и Q(x,y) допускают разделение переменных т. е. P(x,y)=P₁(x)P₂(y) Q(x,y)=Q₁(x)Q₂(y) следовательно дифференциальное уравнение (4) принимает вид. P₁(x)P₂(y)dx+Q₁(x)Q₂(y)dy=0

проинтегрируем

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)

Функция f(x,y) называется однородной функцией относительно переменной x,y n-го порядка если для любого λ, f(λx, λy)= λⁿf(x,y). Дифференциальное уравнение называется однородным дифференциальным уравнением если однородная функция нулевого порядка, т. е. . Для нахождения решения однородного дифференциального уравнения делают подстановку или отсюда находят и подставляют в дифференциальное уравнение получим: - дифференциальное уравнение с разделяющими переменными. Получаем проинтегрируем пологая что и исследуем отдельно. Примечание: дифференциальное уравнение является однородным дифференциальным уравнением, если P(x,y) и Q(x,y) однородные функции одного и того же порядка.

3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:

Дифференциальное уравнения первого порядка вида приводятся либо к однородным дифференциальным уравнениям, либо к дифференциальным уравнениям с разделяющими переменными. а. При с=с₁=0 это очевидно: . б.Пусть тогда делают подстановку: , где , , t – новая переменная , тогда или , потребуем чтобы эта система линейных уравнений относительно неоднородна, она имеет единственное решение если ее определитель т.е. тогда - однородное дифференциальные уравнения относительно функции U находим его общий интеграл , а следовательно находим и решение исходного дифференциального уравнения . с.Пусть т. е. или отсюда и следовательно мы можем записать или тогда

- дифференциальное уравнение с разделяющимися уравнениями.

Замечание: д.у. вида , где -непрерывная функция, интегрируется также , как и д.у., рассматриваемое в этом пункте.