Б) площадь плоской области, заданной параметрически

Пусть область задана параметрически:

Примечание: если область задана параметрически ; . Тогда

Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).

Пусть область задана уравнением , , т.е. найдем площадь криволинейного сектора. Для этого разобьем область лучами на частей с шагом

Т.к. мало, то Следовательно этот элемент - равнобедренный треугольник с точностью до бесконечно малого. Его площадь (по первому замечательному пределу). Итак или в дифференциальной форме . Следовательно

Примечание: если область задана уравнениями

тогда площадь области равна

Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).

а)Пусть область задана уравнениями:

Область вращается вокруг . Найдем этого тела вращения.

Разобьем тело вращения плоскостями перпендикулярными плоскости . Обозначим:

-объем элементарного тела, на которое разделилось тело вращения. Т.к. мало, то

Следовательно

Б) Пусть кривая x=g(y) непрерывна на отрезке [c,d] вращается вокруг оси Оу тогда:

V_{y =} dy=g(y) Vy_i=

В) Кривая y=f(x) определённая и непрерывная на [a,b] вращается вокруг оси OY

Разобьем это тело на элементарные области. Объём тела

Г) Кривая x=g(y) определённая и непрерывная на [c,d] вращается вокруг оси Ox

Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)

Пусть кривая y=f(x) определена и дифференцируема на [a,b] вращается вокруг оси Ox, найдём площадь S поверхности этого тела вращения.

Отрезок [a,b] разбиваем точками x₀=a, x₁, x₂…x_n=b

где

Аналогично когда x=g(y) вращается вокруг оси Oy

Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).

а) Работа силы F(x) по перемещению материальной точки вдоль оси Ox

б) Масса кривой y=f(x) на [a,b] если - линейная плотность кривой, то

в) Статические моменты кривой относительно координатных осей.

г) Координаты центра тяжести кривой

 

Длина дуги плоской кривой (23).

а) кривая задана в декартовой системе координатуравнением и непрерывны на . Разбиваем отрезок т. на n частей. Обозначим

По теореме Пифагора , но или в дифференциальной форме

. Тогда

Б) длина дуги плоской кривой, заданной параметрически

Пусть кривая задана уравнениями:

Тогда

При этом считаем, что функции и непрерывны на и

Примечание:если кривая - пространственная кривая, заданная уравнениями:

Длина дуги кривой в этом случае вычисляется по формуле