Теорема (признак Лейбница)

Знакочередующий ряд сходится, если модули его членов убывают с возрастанием n и общий член стремится к нулю, т. е.

а_n+1‹а_n (n=1, 2, 3,…)

и

=0 3

Доказательство

Рассмотрим частичные суммы ряда с четными и нечетными номерами:

S_2m=a₁-a₂+a₃-…+a_2m-1-a_2m,

S_2m+1= a₁-a₂+a₃-...a_2m-1-a_2m+a_2m+1

Преобразуем первую из этих сумм:

S_2m= (a₁-a₂) + (a₃-a₄) +…+ (a_2m-1-a_2m),

S_2m= a₁ – (a₂-a₃) – (a₄-a₅) -...- (a_2m-2-a_2m-1) –a_2m.

В силу условия разность в каждой скобке положительна, поэтому S_2m›S_2m-2 и S_2m‹a₁ для всех m. Итак, последовательность четных частичных сумм {S_2m} является монотонно возрастающей и ограниченной. Она имеет предел, который обозначим через S, т. е. . Поскольку S_2ь+1=S_2m+a_2m+1, то, принимая во внимание предыдущее равенство и условие, получаем

Итак, последовательности частичных сумм данного ряда соответственно с четными и нечетными номерами имеют один и тот же предел S.Отсюда следует, что последовательность всех частичных сумм ряда имеет предел S; , т. е.ряд сходится.

Пример

Исследовать сходится ли ряд

+…. 4

Этот ряд явл. Знакочередующимся. Он сходится, поскольку удовлетворяет условиям теоремы

<

Оценка остатка знакочередующегося ряда определяется с помощью следующей теоремы.

Теорема

Сумма остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак первого оставшегося члена и не превосходит его по модулю.

Доказательство

Рассмотрим остаток ряда (1) после 2m членов. Пусть – его сумма,

r_2m=a_2m+1-a_2m+2+a_2m+3-a_2m+4+a_2m+5-….,

_2n= (a_2m+1-a_2m+2)+(a_2m+3-a_2m+4)+…..+(a_2m+2n-1 -a_2m+2n),

_2n= a_2m+1-(a_2m+2-a_2m+3)-…..-a_2m+2n ,

Так как выполнены условия теоремы Лейбница, то _2n>0 и

_2n<a_2m+1 при всех n, т.е. 0< _2n<a_2m+1 (n=1,2,3,….)

Откуда

Или r_2m 2m+1

Аналогично доказывается, что сумма

R_2m-1 остатка ряда после 2m-1 членов (r_2m-1=-a_2m+a_2m+1-a_2m+2+a_2m+3-….) удовлетворяет условиям

0<-r_2m-1<a_2m,т.е. r_2m-1<0 [r_2m-1]

Следовательно, независимо от четности или нечетности n

[r_n] a_n+1

Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда

Ряд вида а₀ + а₁ х + а₂ х² + … а_n хⁿ + … = (1) называется степенным рядом,

а – некоторые числа, х – переменная .

Коэффициентамистепенного ряда называются числа а₀ , а₁ , … , а_n

Пример:1+х+х² + …+ хⁿ + … = - степенной ряд, все его коэффициенты равны 1.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений переменной х , при которых соответствующий числовой ряд сходится. Степенной ряд в предыдущем примере является бесконечной суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем х . Его частичная сумма S = . Эта сумма имеет конечный предел при │х│< 1. Поэтому областью сходимости исходного ряда является интервал (-1; 1).

Теорема Абеля а)Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении х=х₀≠0, то он сходится

Абсолютно при всех значениях х , таких что │х│< │х₀│

б)Если степенной ряд (1) расходится при х = х₁ , то он расходится при всех значениях х , таких что │х│> │х₁│.