Производная ф-ции. Гео. и эк. Смысл

Производной ф-ции y=f(x) в тч. Х₀ наз. предел отношения приращения этой ф-ции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю.

Формула выражает геометрический смысл производной: производная от данной ф. в данной точке = tg угла наклона касательной графика ф-ции в этой тчк. Производительность труда есть производная объема продукции по времени. Рассмотрим некоторые понятия, иллюстрирующие экономический смысл производной. Пусть y(x) – ф-ция, характеризующая, например, издержки производства, где x - количество выпускаемой продукции. Тогда отношение описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского "average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением . Производная выражает предельные издержки производства. Величину Mf(x) = y' наз. мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определ. предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и др. предельные величины.

Правила дифференцирования:
1.Производная сум.(разности) двух дифференц-ых ф-ций =сумме(разности) производных этих ф-ций

2.Производная произведения двух диффиренц-ых ф-ций = произведению первой ф-ции на роизводную второй + произведение второй ф-ции на производную первой:

3.Производная частного двухдифференц-ых ф-ций определ. формулой:

где

Произв. Сложной и обр. ф-ции. Табл. Производных.

Производная сложной ф.:Если и -дифференцируемые ф. своих аргументов, то производная сложной ф. сущ. и равна произведению производной этой ф-ции по промежуточному аргументу на производную промежуточного по независимой переменной, т.е.

, .

вогн-я

Производная обратной ф.:Если y=f(x) и - взимно-обратые дифференцируемые ф-ции и ,то Действительно,т.к. ,то

Таблица производной

, , , , , ,

, ,

, , ,

,

 

 

37. Диф-л функции, его геометр. смысл. Приближенные выч-ия с пом. Диф-ла.

Рассм. Ф-ию y=f(x), имеющую произв. в каждой точке ее обл. опр-я. Диф-лом ф-и y=f(x) наз. произведение произв-й этой ф-и на приращение независ. переменной х Диф-л независ. переем-й равен приращению этой переменной, поэтому диф-л ф-и равен произведению ее производной на диф-л незав. перем-ой.Геометр. смысл: диф-л ф-и равен приращению ординаты касательной к граф. Данной ф-и, когда аргумент получает приращение дельта х.

Бесконечно малое приращение ф-и эквивал. диф-лу этой ф-и при всех знач. незав. перем-ой, для кот-х произв-я ф-и конечна и отлична от нуля.f(x+дельтах)прибл.=f(x)+f’(x)*дельтаХ. Эта ф-ла позволяет вычислять прибл. знач-е ф-и, соотв-ее приращ-му знач. аргумента, если известно ее знач. в этой т. и знач. производной в этой т., когда приращение арг-та достаточно мало.

 

38.Теорема Ферма и Роля.Теорема Ферма: Если функция f(x) определена на интер(а, b) и в некот.точке x₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение, тогда если в точке х₀ существует производная, то она равна нулю.

Теорема Роля: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема внутри этого отрезка, причем f(a)=f(b), то существует по крайней мере одна точка x=c, принадлежащей отрезку (a, b), такая, что f’(c)=0 (касательная // OX)

 

 

39. Теорема Лагранжа: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема внутри этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка с, принадлежащая отрезку (а, b), для которой справедлива формула: f(b)-f(a)/(b-a)=f”(c).Эта формула наз. Формулой конечных приращений Лагранжа.

 

 

40. Правило Лопиталя. Исп. при вычис.пределов для раскрытия неопредел.( );( ).Теорема Лопиталя:Если ф-и у=f(х) и у=ф(х) удовлетв. услов. теор. Коши в нек.окрестн. х= ,стремят. к 0( ) при х и сущ. lim ,то сущ lim и эти пределы равны.Пр.Лопиталя справедливо и при = .

Пример: lim sinx/x=lim (sinx)’/x’=lim cosx/1=1.