Й метод(метод элементарных преобразований)

Теорема 2 (о сохранении ранга матрицы при элементарных преобразованиях).Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.

Из этого утверждения следует, что для того, чтобы найти ранг матрицы, нужно с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду, а ранг такой матрицы легко найти, пользуясь определением.

Найдём ранг матрицы, используя элементарные преобразования.

.

, , а миноров 3-го порядка отличных от нуля, нет, значит .

Лекция 7

11. Системы линейных алгебраических уравнений, основные понятия.

Запись и решение СЛАУ в матричном виде. Матричные уравнения.

Системы линейных алгебраических уравнений,

основные понятия

Система из линейных алгебраических уравнений с неизвестными имеет вид

С использованием знака суммирования систему линейных алгебраических уравнений можно записать следующим образом:

, .

Матричная запись системы:

.

Матрицу называют основной матрицей системы;

– матрицей-столбцом переменных,

– матрицей-столбцом свободных членов.

Матрицу называют расширенной матрицей системы.

Определение 1. Решением системы уравнений называют совокупность чисел , при подстановке которой в систему все уравнения системы превращаются в верные равенства.

Определение 2.Систему уравнений называют совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение. Систему называют несовместной, если она не имеет решений.

Определение 3. Совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет одно и только одно решение. Совместную систему уравнений называют неопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение 4.Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений.

Преобразования, приводящие к эквивалентным системам

1.Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

2.Умножение обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

3.Перестановка уравнений.

4.Перенумерация переменных.

5. Прибавление к любому уравнению другого, умноженного на число.

Так как каждой СЛАУ соответствует матрица, то перечисленные преобразования систем соответствуют элементарным преобразованиям матриц этих систем.

Определение 5.Переменная называется разрешенной, если в одном из уравнений системы коэффициент при этой переменной равен единице, а в остальных уравнениях – нулю.

Определение 6.Если каждое уравнение системы содержит разрешенную переменную, то система называется разрешенной.