Доказательство свойства 1

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Линейная алгебра»

для направления 080100 «Экономика»

 

Рязань 2012

Тема 2. Элементы матричной алгебры (20 часов, 10 лекций)

Лекция 1

Матрицы, виды матриц.

Операции над матрицами, их свойства.

 

Матрицы, виды матриц

Понятие матрицы появилось в связи с изучением СЛАУ впервые в середине 19 века в работах ирландского ученого У. Гамильтона и английских ученых А. Кэли и Дж. Сильвестра. Основы теории матриц созданы немецкими учеными К. Вейерштрассом и Т. Фробениусом. Название «матрица» происходит от латинского слова matrix (матрица), означающего «источник», «начало».

Определение 1.1. Матрица – это прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, элементами которой являются числа, функции или иные величины, над которыми можно производить алгебраические операции.

Обозначения:

или ,

где – элементы матрицы;

– номер строки, ;

– номер столбца, ;

– размер матрицы.

Если , то матрица называется квадратной, тогда – это порядок матрицы.

Пример 1.а) размера .

б) – квадратная матрица 3-го порядка.

в) – размера (матрица-столбец).

г) – размера (матрица-строка).

Определение 1.2. Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая верхний левый угол с нижним правым. Элементы, стоящие на главной диагонали, называются диагональными. Воображаемая линия, соединяющая верхний правый и нижний левый углы, называется побочной диагональю.

Определение 1.3. Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны 1, а остальные равны 0, называется единичной.

Например, единичная матрица третьего порядка имеет вид:

.

Определение 1.4. Квадратная матрица, элементы которой, стоящие под главной диагональю, равны нулю, называется верхне-треугольной.

 

Операции над матрицами, их свойства

Операция сложения (вычитания).

Эти операции можно выполнять только над матрицами одного размера.

, ,

тогда .

Пример 1. .

Операция умножения матрицы на число.

Умножение матрицы размера на число – операция, в результате которой получается матрица , элементы которой равны элементам матрицы , умноженным на число .

, тогда .

Пример 2.Пусть в 1-й магазин в первый раз завезли 10 холодильников, 12 телевизоров и 8 стиральных машин, а во второй магазин – 5 холодильников, 20 телевизоров и 14 стиральных машин. Тогда общий завоз товаров в 1-й раз можно описать матрицей

.

Если во 2-й завоз поступление товаров в магазины описывается матрицей

,

то можно найти суммарный завоз товаров в магазины:

.

Если завоз товаров в магазины, описываемый матрицей , произведен троекратно, то результирующий завоз будет равен

.

Свойства операций

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Доказательство свойства 1

Пусть , , тогда

и

.

Так как элементы этих матриц – числа, а сложение чисел обладает свойством коммутативности, то

, , .

Следовательно, .